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1、方法技巧专题30,不等式解法与基本不等式(原卷版) 方法技巧丏题 30 不等式的解法与基本不等式 学生篇 一、不等式的解法与基本不等式知识框架 二、不等式的解法 【一】一元二次不等式的解法 1.例题 【例 1】已知集合 Ax|x 2 x20,By|y2 x ,则 AB 等于( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1) D.(0,2) 【例 2】解关于 x 的不等式 ax 2 (a1)x10(a0). 【例 3】 已知不等式 ax 2 bx10 的解集是- -3121| x x ,则不等式 x 2 bxa0 的解集是_ 【例 4】(1)已知函数 f(x)mx 2 mx1.若对于 xR,
2、f(x)0 恒成立,求实数 m 的取值范围. (2)已知函数 f(x)mx 2 mx1.若对于 x1,3,f(x)5m 恒成立,求实数 m 的取值范围. (3)若 mx 2 mx10 对于 m1,2恒成立,求实数 x 的取值范围. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】 解下列不等式: (1)x 2 2x30; (2)已知函数 f(x) x 2 2x,x0,x 2 2x,x0, 解不等式 f(x)3. 【练习 2】解关于 x 的不等式 12x 2 axa 2 (aR) 【练习 3】已知不等式 ax 2 3x64 的解集为x|x1 或 xb (1)求 a,b; (2)解不等式xcaxb 0(c 为常
3、数) 【二】分式不等式的解法 1.例题 【例 1】 解不等式: 073+-xx 例 【例 2】 】解不等式132 x+ 2.巩固提升综合练习 【练习 1】解下列不等式: (1) 2 301xx-在 x a = 处取最小值,则 a 等于( ) A3 B 13 + C 12 + D4 (3)已知 0 a b ,则4 12aa b a b+ + -的最小值为( ) A44 4 B6 C32 283aa b- D 3 2 (4)已知 1 x - ,则函数27 101x xyx+ +=+的值域为_ 2.巩固提升综合练习 【练习 1】函数 yx1x3 x1 的最大值为_ 【练习 2】已知 1, 0, 2
4、a b a b + = ,则1 11 2 a b+-的最小值为( ) A322+ B3 24 2+ C 32 2 + D1 22 3+ 【二】条件型 1.例题 【例 1】(1)已知正数 x 、 y 满足 41 x y + =,则1 1x y+的最小值为( ) A8 B12 C10 D9 (2)已知 0 m ,0 xy ,当 2 x y + = 时,不等式24mx y+ 恒成立,则 m 的取值范围是( ) A ) 2,+ B ) 2,+ C ( 0, 2 D ( 0,2 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知正实数 a , b 满足41 ab+ = ,则1ba+ 的最小值为( ) A4 B6 C
5、9 D10 【练习 2】已知 0 x , 0 y ,且 2 8 0 x y xy + - = ,若不等式 ax y +恒成立,则实数 a 的范围是( ) A ( ,12 - B ( ,14 - C ( ,16 - D ( ,18 - 【练习 3】已知正数 x 、 y 满足 1 x y + = ,则1 41 x y+的最小值为( ) A 2 B92 C143 D 5 【练习 4】已知 1, 0, 2 a b a b + = ,则1 11 2 a b+-的最小值为( ) A322+ B3 24 2+ C 32 2 + D1 22 3+ 【三】换元型 1.例题 【例 1】已知 0 a , 0 b ,
6、且 2 1 a b ab + = - ,则 2 + a b 的最小值为( ) A 5 2 6 + B 8 2 C5 D9 2.巩固提升综合练习 【练习 1】若正数 xy 、满足 4 0 x y xy + - = ,则4x y +的最大值为( ) A25 B49 C12 D47 【练习 2】已知正实数 a,b 满足 a 2 b40,则 u 2a3bab的最小值为_ 【四】实际应用 1.例题 【例 1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为34800m ,深度为 3m .如果池底每21m 的造价为150 元,池壁每21m 的造价为 120 元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为_ m .
7、 2.巩固提升综合练习 【练习 1】某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站 10 km 处建仓库,则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A5 km 处 B4 km 处 C3 km 处 D2 km 处 四 、课后自我检测 1若集合 A-01|xxx ,Bx|x 2 2x,则 AB 。 2不等式2601x xx- - 的解集为 。 3关于 x 的不等式( )( )0( )x a x bx c- -解集为 | 1 2 3 x x x - -在 x a = 处取最小值,
8、则 a 等于( ) A3 B 13 + C 12 + D4 6不等式2( 1) (1 ) ( 2) 0 k x k x k - + - + - ,不等式2 241 2 1x ymy x+ - -恒成立,则 m 的最大值为 ( ) A 8 B 16 C 2 2 D 4 2 10已知 0 a , 0 b , a , b 的等比中项是 1,且1m ba= + ,1n ab= + ,则 m n + 的最小值是_. 11若关于 x的不等式 x 2 ax20 在区间1,5上有解,则实数 a 的取值范围为 。 12已知函数 f(x)x 2 axb 2 b1(aR,bR),对任意实数 x 都有 f(1x)f(
9、1x)成立,若当 x1,1时,f(x)0 恒成立,则 b 的取值范围是 。 13若不等式 x 2 (a1)xa0 的解集是4,3的子集,则 a 的取值范围是_ 14不等式 x 2 8y 2 y(xy)对于任意的 x,yR 恒成立,则实数 的取值范围为_ 15若存在实数 x2,4,使 x2 2x5m0 成立,则 m 的取值范围为 。 16已知实数 x,y 满足 x 2 y 2 3,|x|y|,则1(2xy) 2 4(x2y) 2 的最小值是_ 17已知 P 为椭圆 x24 y 23 1 上一个动点,过点 P 作圆(x1)2 y 2 1 的两条切线,切点分别是 A,B,则PA PB 的取值范围为_
10、 18在关于 x 的不等式 x 2 (a1)xa0 的解集中至多包含 1 个整数,则 a 的取值范围是 。 19不等式 x 2 2ax3a 2 0(a0)的解集为_. 20已知函数 f(x)ax 2 bx(a0,b0)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为 2,则 8abab的最小值是_ 21在 ABC 中,A 6 , ABC 的面积为 2,则2sin Csin C2sin B sin Bsin C 的最小值为 22已知 a1,1,不等式 x 2 (a4)x42a0 恒成立,则 x 的取值范围为_ 23已知函数 f(x)mx 2 mx1. (1)若对于 xR,f(x)0 恒成立,求实数 m
11、的取值范围; (2)若对于 x1,3,f(x)5m 恒成立,求实数 m 的取值范围 24已知不等式 ax 2 bxc0 的解集为(1,t),记函数 f(x)ax 2 (ab)xc. (1)求证:函数 yf(x)必有两个不同的零点; (2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m,n 求|mn|的取值范围 25设函数2( ) 2 f x mx mx = - - (1)若对于一切实数 ( ) 0 f x - + - 恒成立,求 m 的取值范围. 26设函数2( ) 3| | ( ) = - + f x ax x a ,其中 a R (1)当 1 a = 时,求函数( ) f x 的值域; (2)若对任意 , 1 + x a a ,恒有 ( ) 1 f x - ,求 a 的取值范围 27徐州、苏州两地相距 500 千米,一辆货车从徐州行驶到苏州,规定速度不得超过 100 千米/时已知货车每小时的运输成本(以