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1、椭圆及其性质【考纲说明】1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程。2. 掌握椭圆的简单几何性质。3. 高考占分10分左右。【趣味链接】椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点.开普勒（Kepler）行星运 行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆.由此可见，圆锥截线不单单是 几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。【知识梳理】一、椭圆的定义平面内一个动点F到两个定点、气的距离之和等于常数（|PF | + |PF2 =2aFlF2），这个动点P的轨 迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦
2、点的距离叫作椭圆的焦距.若| +|=匡可），则动点F的轨迹为线段户尸2； 若（|s | + |pf2 | 0）c2 =a2 -b14. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为（c,0），（c,0）；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为（0,c），（0,-c） 三、椭圆的简单几何性质22以此方程为例：A + % = l（ab0）的简单几何性质 a2 o1. 对称性：22对于椭圆标准方程+= 1 （q /?0）：说明：把尤换成一 x、或巴y换成y、或巴x、y同时换成一 x、a b22V、原方程都不变，所以椭圆+ % = 1是以X轴、V轴为对称轴的轴对称图形，并旦是以原点为对称中心的
3、 a2 b2中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2. 范围：椭圆上所有的点都位于直线x = +a和丫 = 土。所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|y 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 凡（-a,0），a b人2（。,0），WO,），fi2（0,Z?）； 线段人片，分别叫做椭圆的长轴和短辄I I = 2a,| BB2 = 2b - a和b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。4, 离心率：2广 c 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e = = -2a a 因为（ac0），所以e的取值范围是（0 e 1） . e越接近1，则c就越接近a，从而b =
4、 Ja -c越小， 因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,从而力越接近于a，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a = b 时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 + y2=a.22注意：椭圆+土 = 1的图像中线段的几何特征（如下图）： a b,PFX I PF2 I（1）（PF, +PF2 =2a）;=111PM, | PM2 Ir 2（PM + PM2 I =）；（2）（iBFj = BF2 | = a）；| = 0F2 | = c）; aB = A2B | = 7a2 +b2 ；（3）仍 | = ”2灼 | = a-c；片巴 | = = a + c ； a c | a
5、 + c ；四. 椭圆常见的解题规律方法：1. 如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴.当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的 方程才是标准方程形式.此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b-, 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的.分别表示椭圆的 长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：（ab0）, （ac0），J3.（72 =b2 +c2）-可借
6、助右图理解记忆:显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条 直角边。3. 如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看, 焦点就在哪个坐标轴上。4.方程Ax2 + By2 =C（A,3,C均不为零）是表示椭圆的条件方程Ax-+ By =C可化为苴+竺1 = 1，即 +竺1 = 1，所以只有A、B、c c c Cy2的分母的大小，哪个分母大,C同号，且AB时，方程表不A Bc cc c椭圆.当时，椭圆的焦点在X轴上；当-b0)共焦点的椭圆方程可设为 27 2/a b22 + 一 = 1 一2),此类问题常用待定系数法
7、求解。a2 +m b +m7. 判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成-X，方程不变，则曲线关于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成-y,方程不变，则曲线关于X轴对称； 若把曲线方程中的X、y同时换成-X、-y,方程不变，则曲线关于原点对称。8. 如何求解与焦点三角形PFR (P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角 形面积公式SW后=PF | x PF21 x sin ZFlPF2相结合的方法进行计算解题。将有关线段|杞21，有关角FiPF2( /F1PF2 /乙32)结合起来，建立|P
8、F| + 旦|、 PFxPF间的关系。9. 如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化离心率e =三(0 e a c 0，用a、b a表示为 e = j (写2(0 el).hh显然：当旦越小时，e(0e 1)越大，椭圆形状越扁；当巳越大，e(0e0, B0）,旦设 , y,）, Q（x2 , ,y2）, PQ 的中点为 MCi。，%）.由已知：OPOQ,所以|o隼，即有：+=岑,又 =此+1，求得：1x=-43Vo = 43x = 41)，n = 4联立0, BP ABA + B.由韦达定理可得：+ .v2 = - ,从而有 y1 + y2=x1+.v2+2
9、 = - ,易知：+ x2 = 2x0,+ y2 = 2y0 ,所A + BA + B2B2 A _3A + B 2j_ ( 2B2 A + B或 2A _1A + B _ 2解之得：A = !3X2 V2:.故椭圆方程为：芝_ +匕=1或B = 2222+3/_1 1.22【例2】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为尸2,斜率为k的直线过右焦点灼与椭圆交于A, B两点，与y 轴交于点M点，且质=2瓯（1）若k0）, E（c, 0）,则直线AB的方程为：y = k（x-c） M（0, -kc）,由=1,耳W云+ #T消y = k(x-c)MB = 2BF2 ,可求得：手-与代入椭圆方程，并整
10、理得：好=% 9-,而e =且/?2=口2“2,故有: 仃=，1）（9一4疽），由已知：0 弘2 24 得：。才lj（9 4e2）M24,考虑到 0 el,故求得：|e 得：33x2 -64cx + 28c = 0,设A8的中点为心（气，）顶x0= = |c,易知：椭圆的右准线为：x = 4c , 于是4c-|c = nc = l,故椭圆方程为：+ = 1333343【例3已知椭圆的中心在原点O,短轴长为2皿，右准线交x轴于点A,右焦点为F ,且OF = 2FAf过点A的直 线/交椭圆于p，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）若OP OQ = 0,求直线/的方程；（3）若点。关于x轴的对称点为0,
11、证明：直线F必过定点；（4）求OPQ的最大面积。22【解析】（1） c = 2 , b a = V6 A（3, 0） 椭圆方程为：+ = 1）62（2）设直线/的方程为：x-3 = kyf且设尸（知乂），。（如y2）联立 T + T = 1消去 x,得：（k2+3）y2+6ky + 3 = 0 ,贝 lj 小为=, *=疽，从而求得：k +3 k +3x-3 = kyM + 尤2 = 7 F。，柘2= 6? *27 ,由 Qp. qq - q 得：xxx2 + yxy2 =0 ,求得 k = 4,所以 Z 的方程为：x a/5-3 = 0 k +3k +3（3）有已知及（2）知：必（知 f）.设直线P0与X轴交于点心3, 0）,贝J有=二 5 =： *2山，由眨）/ xm x2-m+ y2可知：万=饥+3 x2=ky2+3,所以农=正必+3322）=当边+ 3,又由知：旦方=_ ,所以11221 +2 Ji + .y2H + % 2k皿= -1 + 3 = 2 ,即肱（2, 0）
