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1、2013年真题文科数学(辽宁卷)解析版Word含答案 绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A 1,2,3,4 ,B x|x 2 ,则A B（A） 0 （B） 0,1 （C） 0,2 （D） 0,1,2 （2）复数的Z1i 1模为（A）12（B）2（C（D）2（3）已知点A 1,3 ,B 4, 1 ,则与向量AB同方向的单位向量为（A） ，-3 54 3 4，- （B）5 554355（C） （D） （4）下面是关于公差d 0的
2、等差数列 an 的四个命题：34 55p1:数列 an 是递增数列； p2:数列 nan 是递增数列；ap3:数列 n 是递增数列； p4:数列 an 3nd 是递增数列；n其中的真命题为（A）p1,p2 （B）p3,p4 （C）p2,p3 （D）p1,p4（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为 20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）45 （B）50 （C）55 （D）60（6）在 ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC csinBcosA12
3、b,且a b,则 BA2 5B C D3663（7）已知函数fx ln13x 1,.则f lg2 f lg2A 1 B0 C1 D2（8）执行如图所示的程序框图，若输入n 8,则输出的SA49B67C D981011（9）已知点O 0,0 ,A 0,b ,Ba,a3.若 ABC为直角三角形,则必有1aAb a3 Bb a31 a1aC b a3 b a3 0 Db a3 b a3（10）已知三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB 3，AC 4，AB AC,AA1 12，则球O的半径为A2B Cx2a2132D（11）已知椭圆C:y2b21(a b 0)的左焦点为FF,C与
4、过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,BF.若AB 10,BF 8,cos ABF（A）35（B）257（C）245（D）2,则C的离心率为56724（12）已知函数f x x 2 a 2 x a,g x x 2 a 2 x a 8.设H1 x max f x ,g x ,H2 x min f x ,g x , max p,q 表示p,q中的较大值，min p,q 表示p,q中的较小值，记H1 x 得最小值为A,H2 x 得最小值为B,则A B（A）a 2a 16 （B）a 2a 16 （C） 16 （D）1622第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生
5、都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列 an 是递增数列,Sn是 an 的前n项和.若a1，a3是方程x2 5x 4 0的两个根，则S6（15）已知F为双曲线C:x29y2161的左焦点，P,Q为C上的点，若PQ的长等于点A 5,0 在线段PQ上，则 PQF的周长为 . 虚轴长的2倍，（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据
6、中的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设向量ax,sinx,b cosx,sinx ,x 0, .2（I）若a b.求x的值；b,求f x 的最大值. （II）设函数f x a18（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.（I）求证：BC 平面PAC；（II）设Q为PA的中点，G为 AOC的重心，求证：QG/平面PBC.19（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求： （I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）所取的2道题不是同一类题的概率. 20（本小
7、题满分12分）如图，抛物线C1:x 4y,C2:x 2py p 0 .点M x0,y0 在抛物线C2上，22过M作C1的切线，切点为A,BM为原点O时，A,B重合于O .当x0 1 1切线MA的斜率为-.2（I）求P的值；（II）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程A,B重合于O时,中点为O .21（本小题满分12分）（I）证明：当x0,1 2x sinx x;（II）若不等式ax x 范围.2x322 x 2 cosx 4对x 0,1 恒成立，求实数a的取值请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方
8、的方框涂黑。 22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲BC垂直于 如图，AB为 O直径，直线CD与 O相切于E.AD垂直于CD于D，CD于C，EF垂直于F，连接AE,BE.证明：（I） FEB CEB; （II）EF AD BC.222（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为 4sin , cos.4（I）求C1与C2交点的极坐标；.PQ的参数方程为 （II）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线x t3 at R为参数 ,求a,b的值. b3y t 1 222（本小题
9、满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f x x a,其中a 1.（I）当a=2时，求不等式f x 4 x 4的解集;（II）已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x|1 x 2 ,求a的值.2013数学辽宁卷（文科）解析大连市红旗高级中学 王金泽一选择题 1. 答案B解析 由已知B x| 2 x 2，所以A B 0,1，选B。 2. 答案B解析由已知Z 3 答案A1 i( 1 i)( 1i)1212i,所以|Z|21 34解析AB (3, 4)，所以|AB| 5，这样同方向的单位向量是AB (, )5554 答案D解析设an a1 (n 1)d dn m，所以P1正确；
10、如果an 3n 12但nan 3n 12n并非递增所以P2错；如果若an n 1，则满足已知，但是递减数列，所以P3错；an 3nd 4dn m，所以是递增数列，P4正确5 答案B解析第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m，则6 答案A解析边换角后约去sinB，得sin(A C)2则ann11n，15m0.3，m 50。12，所以sinB12，但B非最大角，所以B6。7 答案D解析f( x) 3x) 1所以f(x) f( x) 2，因为lg2，lg数，所以所求值为2. 8 答案A12为相反i 1i 12i 111111114注意i i 2，所以所
11、求和为( ) ( ) ( )=92133579解析s s1i 12的意义在于是对12求和。因为121(11i 1)，同时9 答案C解析若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以b a 0；若B为直角，则利用3KOBKAB 1得b a310 答案C1a0，所以选C52解析由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径13211 答案B解析由余弦定理，AF=6，所以2a 6 8 14，又2c 10，所以e 12 答案C解析f(x)顶点坐标为(a 2, 4a 4)，g(x)顶点坐标(a 2, 4a 12)，并且f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上，图象如图，
12、 A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=( 4a 4) ( 4a 12) 16 方法技巧（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。 二填空题13 答案16 16解析直观图是圆柱中去除正四棱柱。V 2 4 2 4 16 1614 答案63解析a1 a3 5,a1a3 4由递增，a1 1,a3 4，所以q 比求和公式得S6 63 15 答案44210145722a3a14，q 2代入等解析|FP| |PA| 6,|FQ| |QA| 6,两式相加，所以并利用双曲线的定义得|FP| |FQ| 28，所以周长为|FP| |FQ| |PQ| 4416
13、 答案10解析设五个班级的数据分别为a b c d e。由平均数方差的公式得a b c d e57，(a 7)2 (b 7)2 (c 7)2 (d 7)2 (e 7)254，显然各个括号为整数。设a 7,b 7,c 7,d 7,e 7分别为p,q,r,s,t，(p,q,r,s,t Z)，则p q r s t 0 (1)2222f(x) (x p) (x q) (x r) (x s)。设= 22222p q r s t 20 (2)4x2 2(p q r s)x (p2 q2 r2 s2)=4x2 2tx 20 t2，由已知f(x) 0，由判别式 0得t 4，所以t 3，所以e 10。 三解答题
14、17解题思路（）（1）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出4sinx 1（2）因为x 0,22，根据象限符号知sinx0求出sinx12，所以x6。（）通过降幂公式和二倍角公式可化简f(x) sin(2x6)12，最后解得最大值为32。18. 解题思路（）由AB为直径条件推出BC AC，再结合PA 面ABC即可证BC 面PAC。（）由重心想到中点是关键，由面面平行推出线面平行是重要方法。19解题思路（）基本事件空间中有15个基本事件，都是甲类的有6个，所以可求得概率25（）不是同一类的有8个基本事件，所以所求的概率是815。20解题思路（）（1）切线的斜率可通过求导求解。（2）用点斜式建立切线方程（3）用方程的思想解决求值问题。（）列MA和MB两个切线方程，
