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1、考研数学三历年真题及解析 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. (1)设n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim =n n x a ,则 221lim lim + =n n n n x x a (B) 若221lim lim + =n n n n x x a , 则lim =n n x a (C) 若lim =n n x a ,则 331lim lim + =n n n n x x a (D) 若331lim l
2、im + =n n n n x x a ,则lim =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n ?对任意的子列 k n x 均有()k n x a k ,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-+内连续,其2阶导函数()f x 的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或 的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点
3、的定义，即凹凸性改 变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 () 2 222,2,2= +D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),d d D f x y x y =? ( ) (A) ()()2cos 2sin 420 4 d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r +? (B) ()()2sin 2cos 420 00 4 d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r +? ? ? ()f x ()0f
4、 x =()y f x =()f x (C) ( )1012d ,d x x f x y y ? (D) ( )10 2d ,d x x f x y y ? 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域 所以 ， 故选B. (4) 下列级数中发散的是( ) (A) 13 n n n = (B) 1 )n n =+ (C) 2 (1)1 ln n n n =-+ (D) 1! n n n n = 【答案】(C) 【解析】A 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法 收敛；B ，根据级数收敛准则，知收敛；C ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， 发散，所以根据级数收
5、敛定义知，发散；D 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法 收敛，所以选C. 1(,)0,02sin 4D r r ?=?2(,),02cos 42D r r ?=? 2sin 2cos 420 4 (,)(cos ,sin )(cos ,sin )D f x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr =+? ? ? 11113lim lim 133 3n n n n n n n n += 11111101022222 P X P Y P X P Y = ?+?=. 三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤. (15)(本题满分10 分) 设函数3 ()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+=.若()f x 与()g x 在0x 时是等价无穷小，求,a b k 的值. 【答案】 11 1,23 a b k -=-= 【解析】法一： 因为， 则有， ， 可得：，所以， 法二： 由已知可得得 由分母，得分子，求得 233 ln(1)()23x x x x o x +=- +33sin ()3! x x x o x =-+23333000(1)()() ()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a a a x b x x o x f
7、x x a x bx x g x kx kx +-+=10 02 13a a b a k ?+=? ?-=?=?11213a b k ? ?=-?=-?=-?300 sin )1ln(lim )()(lim 1kx x bx x a x x g x f x x +=2 03cos sin 11lim kx x bx x b x a x + =03lim 2 =kx x )cos sin 11(lim 0 x bx x b x a x + 0)1(lim 0=+=a x c ； 于是 由分母，得分子 ，求 得； 进一步，b 值代入原式 ，求得 (16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d
8、 D x x y x y +? ，其中222(,)2,.D x y x y y x =+ 【答案】 245 - 【解析】 )() (lim 10 x g x f x =2 3cos sin 11 1lim kx x bx x b x x +- =）（x kx x x bx x x b x x +=13cos )1(sin )1(lim 2 2 3cos )1(sin )1(lim kx x x bx x x b x x +=kx x x bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim 0+-+=06lim 0 =kx x
9、 sin )1(cos cos )1(2sin 1lim 0 x x bx x bx x x b x b x +-+0)cos 21(lim 0 =+=x b x 2 1- =b )()(lim 10x g x f x =kx x x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim 0+-+-=k x x x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21 sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 2 1lim 0+-+-=k 621-=.31-=k 2 ()D D x x y dx
10、dy x dxdy +=? ?2 1 20 2x dx dy =? 1220 2)x x dx =? (17)(本题满分10分) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量， P 为价格，MC 为边际成本，为需求弹性(0). (I) 证明定价模型为11MC P = - ； (II) 若该商品的成本函数为2 ()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格. 【答案】(I)略(II) . 【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得 . 当且仅当 时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得. (18)(本题满分10 分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ，曲线()y f x =在点 00(,()x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 表 达式. 【答案】()8 4f x x = - 1 2240 022 222sin 2cos 55 x t x t tdt =-?22 24200222 2sin 2sin .5545
