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1、考研数学二历年真题及答案详解(20212021) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题 18小题每小题4分，共32分 设2 )(),(sin 1cos a （C ）02I （B ）02I （C ）03I （D ）04I 7设，均为n 阶矩阵，若，且可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 8矩阵? ?1111a a b a a 与矩阵? ? ? ?00000002b 相似的充分必要条件是 （A ）2
2、,0=b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2=b a （D ）2=a ，b 为任意常数 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9 =? ? ?+- x x x x 1 )1ln(2lim 10设函数dt e x f x t ? -= 1 1)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数 =0|y dy dx 11设封闭曲线L 的极坐标方程为? ?-=66 3cos r t 为参数，则L 所围成的平面图形的 面积为 12曲线上?+=2 1ln arctan t y t x 对应于1=t 处的法线方程为 13已知x
3、 x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足 1)0(,0)0(=y y 方程的解为 14设() ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足 )3,2,1,(0=+j i a A ij ij ，则A = 三、解答题 15（本题满分10分） 当0x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小，求常数n a , 16（本题满分10分） 设D 是由曲线3 x y = ，直线a x =)0(a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分
4、别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值 17（本题满分10分） 设平面区域D 是由曲线8,3,3=+=y x x y y x 所围成，求?D dxdy x 2 18（本题满分10分） 设奇函数)(x f 在1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(，使得()1=f ； （2）存在)1,1(-，使得1)()(=+f f 19（本题满分10分） 求曲线)0,0(133=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离 20（本题满分11） 设函数x x x f 1 ln )(+ = 求)(x f 的最小值；
5、 设数列n x 满足11ln 1 =+ +，则数列n S 有界是数列n a 收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设2 sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k =?则有 ( ) (A) 123I I I 成立的一个充分条件是 ( ) (A) 1212,x x y y (C) 1212,x x y y (6) 设区域D 由曲线sin ,12 y x x y = =围成，则5(1)d d D x y x y -=? ( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设1100c ? ?
6、= ? ?,2201c ? ?= ? ? ,3311c ? ?=- ? ? ,4411c -? ? = ? ? ,其中1234,c c c c 为任意常数，则下列向量组 线性相关的为 ( ) (A)123, (B) 124, (C)134, (D)234, (8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -? ? = ? ? .若()123,P =， ()1223,Q =+则1Q AQ -= ( ) (A) 100020001? ? ? ? (B) 100010002? ? ? ? (C) 200010002? ? ? ? (D)200020001? ? ? ?
7、二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2 1y x y e -+=所确定的隐函数，则20 2 x d y dx = . (10) 2222211 1lim 12n n n n n n ? + = ?+? . (11) 设1ln ,z f x y ?=+ ? 其中函数()f u 可微，则 2z z x y x y ?+=? . (12) 微分方程() 2 d 3d 0y x x y y +-=满足条件1 1x y =的解为y = . (13) 曲线()2 0y x x x =+的整数，在区间1,12? ? 内有且仅有
8、一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x 存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分) 设100010001001a a A a a ? ? ?= ? ?，1100? ? - ?= ? ? ? (I) 计算行列式A ； (II) 当实数a 为何值时，方程组Ax =有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分) 已知1010111001A a a ? ? ?= ?- ?-? ，二次型()()123,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值； (II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形. 2011年全国硕士研究生入
9、学统一考试数学二试题 一、 选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上。 （1）已知当0x 时，函数x x x f 3sin sin 3)(-=与k cx 是等价无穷小，则（ ） （A ）4,1=c k （B ）4,1-=c k （C ）4,3=c k （D ）4,3-=c k （2）设函数)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-3 320) (2)(lim x x f x f x x （ ） （A ）)0(2f - （B ）)0(f - （C ）)0(f （D ）0 （3）函数)3)
10、(2)(1(ln )(-=x x x x f 的驻点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （4）微分方程)0(2+=-x x e e y y 的特解形式为（ ） （A ）)(x x e e a -+ （B ）)(x x e e ax -+ （C ）)(x x be ae x -+ （D ）)(2x x be ae x -+ （5）设函数)(x f ，)(x g 均有二阶连续导数，满足0)0(f ，0)0(g （B ）0)0(f ，0)0(g （D ）0)0(f ，0)0(x x 0，则?+-=dx x xf )( 。 （13）设平面区域D 由直线x y =，圆y y x
11、 222=+及y 轴所围成，则二重积分 ?=D xyd 。 （14）二次型3231212 322213212223),(x x x x x x x x x x x x f +=，则f 的正惯性指数 为 。 三、解答题：1523小题，共94分。请将解答写在答题纸 指定位置上，解答应字说明、 证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数 x dt t x F x ?+= 2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0 =+ + x F x F x x ，试求的取值范围。 （16）（本题满分11分） 设函数)(x y y =由参数方程? ?+-=+=3131,3 13133t t y t t x 确定，求)(x y y =的极值和曲线)(x y y =的 凹凸区间及拐点。 （17）（本题满分9分） 设函数)(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取 得极值1)1(=g ，求 1 , 12=?y x y x z 。 （18）（本题满分10分） 设函数)(x y 具有二阶导数，且曲线)(:x y y l =与直线x y =相切于原点，记为曲线l 在点 ),(y x 处切线的倾角，若 dx dy dx d =，求)(x y 的表达式。 （19）（本题满分10分） （I ）证明：对任意的正整数n ，
