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1、蜘蛛网对数螺线模型 数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的 数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2012年第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络
2、挑战赛 题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析 关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法 Abstract Our article aims to study the question about the best structure of the spider webs ,it is on the condition of certain output of the spinning the and quite ideal conditions ,establish mathematical model in the core of the logarithmic spiral to f
3、ind the best way of the spider webs .We also analyze Logarithm of solenoid type surface connection theory, Interface connection strength and ANSYS to get the expression.we apply Monte Carlo method to simulate the process about Net insert and adopt the Random number produce algorithm ,we also use the
4、 software of Matlab 7.0.1 、Mathematica and Microsoft Visual C+ 6.0 to give the answer to the question about the model and analyze about the result from model ,so we establish the best structure of the spider webs by means of these datas. 一、问题重述 世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。通过对蜘蛛网所形成的结构的分析，通过建立
5、模型，设计一种更为合适的蜘蛛网结构。 二、问题分析 题目中主要研究的是：蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。因此我们通过查阅资料，了解蜘蛛网的结构等方面内容，根据结构形状的不同,蛛网可以分为片网、不规则网和圆网等几种类型。由于圆网在蛛网进化上的地位特殊，且结构简单、规则。因此，到目前为止对蛛网的研究大都集中在圆网上。圆网并不是标准的圆，而是近似于数学上的螺旋线。所谓合适的蜘蛛网结构就是利于蜘蛛捕食、防御、繁殖。根据题目的要求，我们提出以下几个问题： 1、为什么蜘蛛网是螺旋线状，而不是标准的同心圆； 2、对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算。 三、符号说明 ：模拟对数螺线的极径 ：模拟对数
6、螺线的极角 ：对数螺线型型面轴旋转角 ：面轴上接触应力 p l：轴孔之间的轴向配合长度 与极径之间的夹角 ：P点接触应力 p f：轴孔之间的摩擦系数 T：扭矩 S：面积就是最大圆的面积 1 L：四圈的长度为 1 四、模型假设： 1、假设蜘蛛网是规则的对数螺线； 2、不考虑蜘蛛网受到风雨等天气情况的影响; 3、假设昆虫飞向蜘蛛网时，落在网内每点的概率相同； 五、模型建立与求解： 蜘蛛网的中心和圆周之间呈辐射状的半径线，自外向里是螺旋线，愈近中心，每圈间的距离也愈小，直到不可辨认的地步，这正符合数学上的对数螺线的情况。因此，我们建立对数螺线的模型，近似代替蜘蛛网，研究其性质。 图1 对数螺线的定义
7、和性质 数学上对数螺线定义如下：动点的运动方向始终与极径保持定角的动点轨迹，称为对数螺线。如图1所示，其极坐标方程为： m ae = （1） 式中：,a m 为常数（()arctan 1/m =）；为极角，为极径。 图2 对数螺线 对数螺线在渐屈、渐伸、垂迹、回光线等各种变换下的不变性质,体现出自身的高度和谐、对称和统一性。 对数螺旋线与圆形蜘蛛网的比较 将四个标准圆形与对数螺旋线放入同一坐标系中，如下图3 图3 1、 四圈圆形蜘蛛网 面积就是最大圆的面积：1S =28=64?3.14=201.056 四圈的长度为： 1L =()21 3.6 5.88.2+=111.784 2、四圈螺旋线蜘蛛
8、网 该对数螺旋线的方程为：30.02e =，08 面积：由于对数螺旋线是一条不封闭的曲线，所以用下图中最外面的曲线和一条线段组成的封闭图形表示该螺旋线所包围的面积。通过数该封闭图形内的方格数估计面积，不足一格按半格记。 图4 共有188个正方形，45个不足一格的，所以面积为198+22.5=220.5 长度： 用Mathematica 计算该曲线长， 输入 Integrate0.02e3x, x,0,8Pi ， 得出结果L= 126.871 现将计算结果做表如下： 周长 面积 面积 周长 圆 116.867 201.056 1.720 螺旋线 126.871 220.5 1.738 结论： 在
9、蜘蛛丝长度一定的情况下，螺旋线所围成蜘蛛网的面积大。这样更利于蜘蛛捕食。 蒙特卡罗方法： 用蒙特卡罗方法模拟昆虫飞向蜘蛛网上的过程： 假设昆虫飞向蜘蛛网时是一个随机过程，此过程中不考虑环境因素（风向、风速等）的影响 编写C 语言程序，生成二维随机数。 程序及运行结果见附录。 将这些随机数在下图5中描点，为处理简单，以第一象限为例，其他象限相同。 图5 图5.1 图5.2 图5.3 图5.4 图5.5 绘制表格： 一 二 三 四 五 平均 螺旋线 9 8 6 5 6 6.8 圆 6 6 3 6 7 5.6 由此可见，昆虫更可能碰到对数螺线。也就是说，对数螺线形的蜘蛛网更有利于捕食 、对数螺线型面
10、联接理论和联接界面强度分析与计算 3.1对数螺线曲线 以型面轴截面曲线为例, 选取三段对数螺线进行分析。从0到110的一段曲线组成, 其中各段曲线之间用直线圆滑联接, 减弱了应力集中现象。 图6三段对数螺线型面轴截面 2.2对数螺线曲线参数的确定 在图1所示对数螺线的方程m ae =中, m 的大小取决于型面联接轴与孔之间受力时的压力角, 因在整个曲线上是常数, 当选定时, m 为常数。因此选择型面联接轴、孔截面形状时,可选定a 值的大小来定轴、孔的尺寸, 再定出压力角,即可确定式中m 值, 对数螺线形状也就随之确定, 同时型面轴、孔截形也就相应得到确定。 三段对数螺线组成的型面轴、孔有两个基
11、本参数a 和,其中m 主要影响曲线的形状,a 主要影响曲线的大小。三段对数螺线型面联接如图7所示,这是一种有间隙的配合(图7-a),工作时通过一定量的相对旋转,间隙补偿,由于楔面的作用在接触面之间便产生正压力,并摩擦闭锁, 形成可靠的联接(见图7-b),其摩擦受力方向与运动方向所成角度a 的大小与参变量无关,即对数螺线的压力角a 在任何位置都是相同的。 ( a ) ( b) 图7对数螺线型面联接 3.2 型面轴孔接触初始位置确定 设型面轴孔的截面廓形曲线方程分别为11m a e =、22m a e =。假定固定轮毂，顺时针旋转型面轴角后两者之间有初始接触，任取一接触点P ，则在P 点处有12=
12、， 即 ()12m m a e a e += （2） 可得 211ln a m a ?= ? （3） 上式表明型面轴旋转角仅与曲线的,a m 常数值有关，而与值无关，即与初始接触点P 的位置无关，即为定值，说明轴孔工作表面之间同时发生接触，轴孔之间接触为面接触。 3.3利用ANSYS 进行接触分析 由于ANSYS 对复杂曲面建模具有一定的局限性，为了分析的准确性，利用 Pr /o E 强大的三维建模功能， 在Pr /o E 中建成模型后，再利用Pr /o E ,ANSYS 之间的接口程序，将模型导入, ANSYS 中。为了方便加载扭矩，在不影响分析结果性质的前提下，于轴中心建一半径为r 的圆形
13、孔，在圆形孔边界节点处加载等效切向力F ，使得扭矩T=Fr ，如图8所示。按照ANSYS 分析步骤设置属性、划分网格、加载、求解。在后处理器POST1中查看有限元模型在纯扭矩T 作用下的节点应力云图，如图9所示。 图8有限元模型 图9节点的应力云图 图9表明在轴孔各段工作表面上除了两端（刚进入接触与刚脱离接触的很小的一个区域）应力比较大之外，其它的区域所受到的应力分布都非常均匀。若在模型应力比较集中区域进行修磨处理，将各段曲线间联接用更圆滑的曲线过渡，可减少或消除应力集中现象。由此，认为对数螺线型面联接接触应力均匀分布是符合实际情况的。反复加载不同的扭矩对有限元模型进行分析求解，发现作用扭矩与接触应力之间成线性比例关系。 3.4接触应力计算 假定在无间隙无过盈的理想配合状态下，轴上作用纯扭矩，如图5所示。在对数螺线型面轴上工作表面共有三段，其上接触应力均匀分布，记为p 。在AB 表面上任取一点P ，在包含P 点的微小弧段ds 上，接触应力的推动分力（即与该点的线速度平行的分力）及摩擦力对轴线o 之矩dt 应为 ()()si
