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1、2020-2021学年广西壮族自治区梧州市蒙山县新圩中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i） 对任意的x，恒有f（x）0；（ii） 当x10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立则下列四个函数中不是M函数的个数是( )f（x）=x2f（x）=x2+1f（x）=ln（x2+1）f（x）=2x1A1B2C3D4参考答案：A考点：函数与方程的综合运用 专题：函数的性质及应用分析：利用已知条件函数的新定义
2、，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可解答：解：（i）在上，四个函数都满足；（ii）x10，x20，x1+x21；对于，满足；对于，=2x1x210，不满足对于，=而x10，x20，满足；对于，=，满足；故选：A点评：本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求2. 在正方体中，面对角线与体对角线所成角等于（ ） A. B. C. D. 参考答案：D略3. 设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ） A B. C. D.
3、 参考答案：D4. （5分）等差数列an中，a6=2，S5=30，则S8=（） A 31 B 32 C 33 D 34参考答案：B【考点】： 等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由S5=30 求得 a3=6，再由S8=4（a3+a6），运算求得结果解：a6=2，S5=30=5a3，a3=6故S8=4（a3+a6）=32，故选B【点评】： 本题考查了等差数列的性质，恰当地运用性质，可有效地简化计算利用了若an为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，qN+）时，am+an=ap+aq ，属于中档题5. 设，则（ ）A BC D参考答案：B6. 已知函数y=sinx+acosx
4、的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是 （ ）A. x=11/6 B. x=2/3 C. x=/3 D. x=参考答案：A7. 如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A. 4B. 5C. 8D. 9参考答案：B【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B【点睛】本题主要考
5、查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.8. 函数满足，若，则( )（） （） （） （）参考答案：解析：由，知，所以，即是周期函数，周期为4所以选C题着意考查抽象函数的性质赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了9. 直线 倾斜角的2倍，则参考答案：A 10. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（ ）A B C D 参考答案：D当时，第次取
6、出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故选：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数对于总有0 成立，则的取值集合为 参考答案：4 略12. 已知集合，则_参考答案：13. 若实数，满足则的最大值为 .参考答案：514. 在复数范围内，若方程的一个根为，则_.参考答案：3根号下50/1006 15. 设F1，F2是双曲线C， (a0,b0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使PF1PF2，且PF1F2=30，则C的离心率为_.参考答案：16. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为参考答案：由
7、三视图知，此几何体是一个组合体，上面是球，其半径为1，下面是半圆柱，底面半圆直径为1，高为2所以组合体的体积为17. 一个组合体的三视图如图，则其体积为_参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD, ，E是BD的中点.（）求证：EC/平面APD；（）求BP与平面ABCD所成角的正切值；（）求二面角的的正弦值参考答案：解：（）如图，取PA中点F，连结EF、FD，E是BP的中点，EF/AB且，又EFDC四边形EFDC是平行四边形，故得EC/FD 2分又EC平面PAD，FD平面PADEC/平面ADE 4分
8、（）取AD中点H，连结PH，因为PAPD，所以PHAD平面PAD平面ABCD于AD PH面ABCD HB是PB在平面ABCD内的射影 PBH是PB与平面ABCD所成角6分 四边形ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在中,易得,，又，是等腰直角三角形，在中，10分()在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PGAB，所以PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a11分，又，在中， 二面角P-AB-D的的正弦值为15分略19. （本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满
9、足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.参考答案：（1）4分（2） 得，所以则由，得7分当时，由，所以数列为等差数列9分（3）因为，可得不合题意，合题意11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列中的一项，则（2+2+2）+()=即13分记则，1+2+2+2=，所以当时，=1+2+2+2+11+2,又则由15分综上可知，满足题意的正整数仅有.16分20. （本小题共13分）数列的前项和为，若且（，）. ( I )求；( II ) 是否存在等
10、比数列满足？若存在，则求出数列的通项公式；若不存在，则说明理由.参考答案：解：（I）因为，所以有对，成立 2分即对成立，又, 所以对成立3分所以对成立 ，所以是等差数列， 所以有 ， 6分（II）存在. 7分由（I），对成立 所以有，又， 9分所以由 ，则 11分所以存在以为首项，公比为3的等比数列，其通项公式为 . 13分略21. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为长方形，点、分别是线段、的中点(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，并证明平面；若不存在，请说明理由参考答案：证明：（1），又平面,平面，平面(2) 在线段上存在一点，使得平面，此时点为线段
11、的四等分点，且， 底面，又长方形中，又，平面略22. 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在R上存在最大值0，求函数在0,+)上的最大值；（3）求证：当时，.参考答案：解：（1）由题意可知，则，当时，在上单调递增；当时，解得时，时，在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，即，观察可得当时，方程成立令，当时，当时，在上单调递减，在单调递增，当且仅当时，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，即，令，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，即，所以当时，.
