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1、9.1数概念与数意识的形成过程u皮亚杰的数概念学习理论： “数”是异于“物理性知识”与社会性知识”的所谓“逻辑数学性知识”。他把数看做是一种“有序的分类”，也就是说，儿童必须能掌握分类和序列性概念的逻辑操作才能了解数字。他认为“数守恒”的能力是数学理解的先决条件，儿童到了六岁半左右才具备这样的能力，如果不具备这样的能力，就不算是对数目有真正的了解，所谓守恒概念是指物体的数或量不因为位置形状的改变而改变。u盖尔曼的儿童数概念理论盖尔曼将学前儿童数学知识和技巧分成两种形态1.数学抽象能力，数学抽象能力是帮助儿童建立数值概念2数学推理原则，它是帮助儿童对数量做进一步的操作而得到有效的推理9.1.1数
2、概念的特点 在所有数学概念中，离学生日常生活最近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的数概念都可以在现实生活中找到模型。 正因为大多数的数概念都不贴近人类的生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都可以借助于实际的情景和活动数概念是一个典型的过程性概念，也就是说它即使过程又是概念。数概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，使学生在具体操作的基础上，经过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入了已有的认知结构。过程概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，与初等几何概念不同的是，数概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，教学中虽然
3、可以借助实际的模型操作，但又不能停留于具体的过程3表征的多样性例 0.5的表达表征方式的多样性一方面可以为问题解决带来灵活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆与误解。研究表明，对数概念符号的多重意义的认识是帮助学生形成数学能力的一部分，因此如何帮助学生发展数学符号与过程的意义是数学教育家目前最重要的课题之一外延的扩张在中小学数学课程中，数概念是一个典型的外延型概念，而且其外延经过了多次的扩张。从逻辑上看，数系的扩张有两条主要的途径：1、通过添加新的元素，如在正整数集合中加入数“0”就得到了自然数，从而使得两个相同的数可以相减；在自然数中加入负数就得到了全体整数2、等式抽象方法。这种方法的优势是
4、能够揭示数概念的本质属性，如从中可以看到，自然数看扩张为整数的目的是现实加法的对称化，整数向有理数的扩张可以现实乘法的对称化，而有理数向实数的扩张则是为了连续化。9.1.2数概念的形成从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数和复数。从学习心理的研究来看，主要集中在有理数，特别是自然数上，但是对虚数和无理数的研究寥寥无几。有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要且最复杂的概念之一，其重要性从以下几方面看出：1、实践角度，能有效的处理这些概念将大大的改进儿童理解和把握现实世界中的情况和问题能力2、心理学角度，有理数概念为儿童提供一个丰富的领域，使他们能够形成和扩张今后智力发展所必须的智力结构3
5、、数学角度，有理数的概念掌握以后为以后初等代数计算提供了可靠的基础自然数皮亚杰数守恒概念的特点1、相互性：某部分增加了就会抵消另一减少的部分，二者之间具有补偿性用。2、同一性：自始至终设计同样的数与量，没有加多也没有拿走任何东西3、逆反性：某一改变状态可以在心里以同等但反向的旋转被逆反回到原来状态皮亚杰的儿童对数概念的认识三个发展阶段第一阶段（4-5岁）是对数概念无法理解的阶段，无法运用一对一的对应关系去建构两组有同样数目的实物。第二阶段（5-6岁）是过度时期，会运用一对一对应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理解第三阶段（6岁半以后）是对数概念能真正理解的阶段，儿童已能用各种方法建构同
6、等性，例如用数的，或用一一对应的方式，并且也能理解守恒概念。不管外观安排如何变化，都不会影响其对同等性的判断盖尔曼和盖尔里斯特的计数原则（1）一对一原则：计数时要遵循“区分”和“标记”这两个过程。也就是集合中的每一个项目只能有一个数字标记，且标记不能重复。（2）规定顺序原则：在每一次在计数时，计数的“标记”必须是遵循同样顺序，也就是在序列中出现的次序是固定的（3）基数原则：计数集合中最后一个项目的标记，即代表此事物的项目总数（4）抽象原则：指以上三原则均可适用于任何可数的事物，即任何东西皆可拿来数，具体的椅子或抽象的心灵都可数（5）次序无关原则：只要遵守其他计数原则，集合中的项目无论从哪一个开
7、始数起，并不影响其结果 上述五项原则，强调计数现象，但这并不意味着儿童能“明确且系统”的完成不同种的作业，这些能力的实际表现会逐渐统和而稳定。斯蒂夫等人对儿童数数的发展六个阶段（1）数序。儿童将个数由1开始依序念出，但是不知其意义。这是一种机械记忆（2）以知觉单位为计数对象。儿童开始会数东西时只能数知觉单位（3）以心像单位为计数对象。以心中想象的东西作为数数的对象，称为心像单位。（4）以动作单位为计数对象。不数想象中的东西，而是数自己的动作（5）以语言单位为计数对象。本阶段的数数行为必须有意识地控制念数字之间开始与结束的时机（6）以抽象单位为计数对象。知道一个数字代表一个集合的数位值从20世纪
8、70年代位值概念就一直是数学教育心理学的一个研究热点，其中的一些重要成果：l贝德纳兹、詹妮弗的研究发现（1）学生把“个、十、百”的位值含义更多的根据位值顺序来理解（2）学生把借位的含义解释为“删去一个数位u，拿走一个，在下一个数位上加一”l整数和小数之间的位值联系对学习是有利的，但是儿童通常只注意整数方面而未能适应小数方面l对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期l有色的筹码是金钱经常被用来作为表示位值概念和运算的操作工具，但是他们却增加了已知的复杂性l学生学习位值概念时产生错误的主要原因是英语中位值系统的语言复杂性为了减少位值概念的教学困难，一些教学辅助工具便应运而生，最为著名的是狄恩
9、斯的“狄氏多层算术积木”，他提出了下列四项原则：活动原则：教儿童玩积木时，首先就该任其自由的玩耍积木，让他们了解积木的意义活动原则：数学变化原则。数学变量的变换情况并不影响变量之间的一些恒定直觉变异原则：数学概念结构不会因为知觉受体的改变而改变9.1.2.3分数图形中整体的一部分子集集合关系除法中等分除的商小数数轴上的一点比 作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，而产生了多种意义，包括： 莱什等人进一步从有理数的子结构的角度深入讨论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还讨论了分数作为“算子”的意义，把分数看做是一个变换，给出了各种意义之间的关系（下页）由图可见：1.拆分和部分整体的子结构是
10、其他子结构的基础2.子结构中的比是促成掌握等价概念的中介3.算子和度量子结构在加法和乘法理解中具有重要的意义由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有一定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简单的过程拆分和部分整数比算子商度量等价乘法解决问题加法分数意义关系网皮亚杰对3-8岁儿童的分数概念发展过程：1. 4岁4岁半儿童对于将一个物品分为两半非常困难，在分割之前没有预想的计划或图示2.4岁6岁儿童对于规则的、小范围的东西有分为两半的能力，如果整体增加，分成一半迟缓3.6岁7岁能过成功的实施三等分，不必利用试误的方法4.10岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法分一个饼，然后三块饼进行二等分
11、赫伯特和特尼森研究58岁分数概念发展情形改成长度模式为伯特尔和萨瓦达发现，儿童处理等分长方形或圆形区域，其分数概念的发展顺序为哈特分数概念理解的层次u能用部分全体来表示 的分数意义u能利用子集集合来表示分数（ ）u能利用等值分数写出分数符号或图标u能解决需要不止一个运算的分数问题分数概念形成过程之中，有四个关键因素u对单位量的认知。处理分数问题最重要的一个概念就是单位量的确认u具有等分割的概念，处理分数问题的另一个重要的概念就是一个可以除尽的全体u理解部分与整体之间的关系u确认单位分量（数）小数和分数异同的比较小数知识（真）分数知识类似（）不同（）A.小数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数
12、被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B小数符号1.一个单位被分成几个的数隐含在数字的位置中2.有多少等份表示在小数的量中3.整数仅可被分成10的幂次方A.分数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B分数符号1.一个单位被等分成由分母明确界定的2.有多少等份表示在分数的分子中3.整数可被分成任一个等份的数（）（）（）（ ）（ ）（ ）小数和整数知识的比较小数知识整数知识类似（）不同（）A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的右边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始
13、往右其值递减B数位1.小数点以后名称按数字次序读出2.小数部分从十分位开始3.位名顺序是从左到右4.读数字的顺序是十分位，百分位，千分位，-C读法小数点左边整数部分按照整数读法，右边的数字依数字次序读出A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的左边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往左其值递减B数位1.没有小数点以后的数字2. 从个分位开始3.位名顺序是从右到左4.读数字的顺序是千分位，百分位，十分位，-C读法依整数十进制结构读出（）（）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）小数概念的形成形成两条基本途径 :1.通过分数的“部
14、分与整体”关系，或者利用整数的位值概念2.一位小数是记录十分之几的分量，两位小数是记录百分之几的分量从整数的位值概念来看小数概念的形成u位值彼此之间关系以10为基底的指数形式表示出位名 -千位 百位 十位 个位位值 -数字 - u为了使个位也能无限制地向右延伸过去，可将指数范围扩大至负整数;利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右扩展一位除以10的结果，有了新符号（小数符号）及新位名的产生： 指数 小数 新位名 =0.1 十分位 =0.2 百分位 -1989年的数学课程与评价标准1.能了解数的基本意义2.能探索数字之间的多重关系3.能了解数字的相对大小关系4.能了解运算对数字的影响5.能发展
15、参考物参考物来测量一般的物体2000年的数学课程与评价标准1.能了解数字及其表征的方法、数字之间的关系和数字系统2.了解运算的意义以及运算之间的关联性3。流利的计算并做合理的估计9.1.3数意识形成与发展数意识的解释，目前并不统一，几种代表性的说法汤普森和瑞特梅尔（数意识分成四种成分）1.能了解数字的意义与关系2.能了解数字的相对大小3能了解运算对数字的影响4.能了解如何使用参考点于日常生活情景麦克英特（数意识包涵的六种能力）1.了解数字的意义与大小的能力2.了解并使用等值形式及表征数字能力3.了解运算的意义和影响的能力4.了解并善用等值形式解题的能力5.发展计算和数数策略的能力6.运用参考点
16、的能力肖德恩数意识包含九种成分1.数字的分解与组合2.辨认数字相对大小的能力3.处理数字绝对 大小的能力4.使用参考点的能力5.以有意义的方式连接数字、运算及相关符号的能力6.了解运算对数字的影响7.以创新的方式进行心算，使运算更为方便的能力8.发展估算的能力，并指导何时估算是适当的9.使数字意义化的能力9.2运算、估算技能与算法思想的形成9.2.1 整数加减法的研究运算技能的形成 乘除法的研究 分数与小数的运算u加减法的研究斯塔奇和格尔曼学前儿童也能理解将元素并入或移出集合的效应有关加减运算问题的基础知识是所谓的部总知识1.部分和总体之间的运算关系知识2.加法交换律知识3.加法和减法互补关系知识格里尔的教学主张1.算术运算教学应该关联到广泛情景2.重视儿童非形式的求解方法菲斯宾等人的研究主张每一个算术基本运算，一般都结合着一个隐藏的潜意识的、原始的直观模式。当解一个含有两项数值资料的应用问题时 ，对运算的选择并非直接发生，通过一个中介模式发生，且这个模式会对选择过 程加以一些限制u乘除法的研究u小数与分数的运算塔特苏特分数加法错误类 型1.带分数转换 假分数的错误 2.整数转换为 等
