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1、学习必备欢迎下载数学必会基础题型平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作：|AB或|a。3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| 1e。4. 零向量 ：长度为 0 的向量。记作：0。 【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。ABBA。8. 三角形法则：ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）9. 平行四边形法则 ：
2、以,a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。10. 共线定理 ：/ /abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12. 向量的模： 若( , )ax y，则22|axy，22|aa，2|()abab13. 数量积与夹角公式：| | cosa bab；cos| | |a bab14. 平行与垂直：1221/ /ababx yx y ；121200aba bx xy y题型 1. 基本概念判断正误 ：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的
3、。（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是ABCD。（5）若ABCD，则 A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若mamb，则ab。学习必备欢迎下载（9）若mana，则mn。（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（11）若| |a bab，则/ /ab。（12）若| |abab，则ab。题型 2. 向量的加减运算1. 设a表示“向东走 8km ”, b表示“向北走 6km ”, 则|ab。2. 化简()()ABMBBOBCOM。3. 已知| 5OA,| 3OB, 则|AB的最大值和最小值分别
4、为、。4. 已知ACABAD为与的和向量，且,ACa BDb，则AB，AD。5. 已知点 C在线段 AB上，且35ACAB, 则ACBC，ABBC。题型 3. 向量的数乘运算1. 计算： （1）3()2()abab（2）2(253 )3( 232 )abcabc2. 已知(1, 4),( 3,8)ab，则132ab。题型 4. 作图法球向量的和已知向量,a b，如下图，请做出向量132ab和322ab。ab题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC中， D 是 BC 的中点，请用向量AB AC，表示AD。2. 在平行四边形 ABCD 中，已知,ACa BDb，求ABAD和。题型
5、 6. 向量的坐标运算1. 已知(4,5)AB，(2,3)A，则点 B 的坐标是。2. 已知( 3, 5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是。3. 若物体受三个力1(1,2)F,2( 2,3)F,3( 1, 4)F, 则合力的坐标为。学习必备欢迎下载4. 已知( 3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。5. 已知(1,2),(3,2)AB, 向量(2,32)axxy与AB相等，求, x y的值。6. 已知(2,3)AB，(, )BCm n，( 1,4)CD，则DA。7. 已知 O 是坐标原点，(2,1),( 4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。题型 7. 判断两个向量能否作为
6、一组基底1. 已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和2. 已知(3,4)a，能与 a构成基底的是（）A.3 4(,)5 5 B.4 3(,)5 5 C.34(,)55 D.4( 1,)3题型 8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知 O 是坐标原点，点 A在第二象限，|2OA，150 xOA，求OA的坐标。2. 已知 O 是原点，点 A 在第一象限，| 4 3OA，60 xOA，求OA的坐标。题型 9. 求数量积1. 已知| 3,| 4ab，且 a与b的夹角为
7、60，求（ 1）a b， （2）()aab，（3）1()2abb， （4）(2) (3 )abab。2. 已知(2,6),( 8,10)ab，求（1）|,|ab， （2）a b， （3）(2)aab，（4）(2) (3 )abab。题型 10. 求向量的夹角1. 已知| 8,| 3ab，12a b，求 a与b的夹角。2. 已知( 3,1),( 2 3,2)ab，求 a与b的夹角。学习必备欢迎下载3. 已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求 cosBAC 。题型 11. 求向量的模1. 已知| 3,| 4ab，且 a与b的夹角为60，求（ 1）|ab， （2）| 23|ab。2. 已知
8、(2,6),( 8,10)ab，求（1）|,|ab， （5）|ab， （6）1|2ab。3. 已知| 1 |2ab，|32| 3ab，求|3|ab。题型 12. 求单位向量【与a平行的单位向量：|aea】1. 与(12,5)a平行的单位向量是。2. 与1( 1, )2m平行的单位向量是。题型 13. 向量的平行与垂直1. 已知(6,2)a，( 3,)bm，当m为何值时，（1）/ /ab？（2）ab？2. 已知(1,2)a，( 3,2)b， （1）k 为何值时，向量kab与3ab垂直？（2） k 为何值时，向量kab与3ab平行？3. 已知 a是非零向量，a ba c，且bc，求证：()abc。
9、题型 14. 三点共线问题1. 已知(0,2)A，(2, 2)B，(3,4)C，求证：,A B C三点共线。学习必备欢迎下载2. 设2(5 ),28 ,3()2ABabBCab CDab，求证： ABD、 、三点共线。3. 已知2 ,56 ,72ABab BCab CDab，则一定共线的三点是。4. 已知(1, 3)A，(8, 1)B，若点(21,2)Caa在直线 AB 上，求a的值。5. 已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，( 1,2)B，(1,1)C，是否存在常数t，使OAtOBOC成立？题型 15. 判断多边形的形状1. 若3ABe，5CDe，且| |ADBC, 则四边形的形状是
10、。2. 已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形 ABCD 是梯形。3. 已知( 2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC 是直角三角形。4. 在平面直角坐标系内，( 1,8),( 4,1),(1,3)OAOBOC, 求证：ABC是等腰直角三角形。题型 16. 平面向量的综合应用1. 已知(1,0)a，(2,1)b，当 k 为何值时，向量kab与3ab平行？2. 已知( 3,5)a，且ab，|2b，求b的坐标。3. 已知ab与同向，(1,2)b，则10a b，求a的坐标。3. 已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则 cab。4. 已知(5,1
11、0)a，( 3, 4)b，(5,0)c，请将用向量,a b表示向量 c 。学习必备欢迎下载5. 已知(,3)am，(2,1)b， （1）若 a 与b的夹角为钝角，求m的范围；（2）若 a与b的夹角为锐角，求m的范围。6. 已知(6,2)a，( 3,)bm，当m为何值时， （1）a 与b的夹角为钝角？（ 2）a与b的夹角为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为( 1,2)A，(3,4)B，(2,1)D，且/ /ABDC ，2ABCD ，求点 C 的坐标。8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A，( 1,3)B，(3,4)C， 求第四个顶点 D的坐标。9. 一航
12、船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。10. 已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，( ,0)C c，（1）若0AB AC，求c的值； （2）若5c，求 sin A的值。【备用】1. 已知| 3,|4,| 5abab，求|ab和向量,a b的夹角。2. 已知xab，2yab，且| | 1ab，ab，求,x y的夹角的余弦。1. 已知(1,3),( 2,1)ab，则(32 ) (25 )abab 65 。4. 已知两向量(3,4),(2,1)ab，求当axbab与垂直时的 x 的值。5. 已知两向量(1,3
13、),(2,)ab，ab与的夹角为锐角，求的范围。变式： 若( ,2),( 3,5)ab，ab与的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1. 特例法例： 全品P27：4。因为 M,N在 AB,AC上的任意位置都成立， 所以取特殊情况， 即 M,N与 B,C重合时，可以得到1mn，2mn。学习必备欢迎下载2. 代入验证法例：已知向量(1,1),(1, 1),( 1, 2)abc，则c（ D ）A.1322ab B.1322ab C.3122ab D.3122ab变式： 已知(1,2),( 1,3),( 1,2)abc，请用,a b表示c。解：设cxayb，则( 1,2)(1,2)( 1,3)xy即：( 1,2)( ,2 )(,3 )(,23 )xxyyxyxy1223xyxy且，即：1232xyxy且解得：4955xy，4955cab3. 排除法例：已知 M是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（ D ）A.AMMBBC B.3AMAC C.ABBCAC D.AMBMCM解：观察前三个选项都不与AB共线，所以选 D。
