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1、第第5 5章章 点的一般运动与刚体的点的一般运动与刚体的基本运动基本运动 5.1 描述点运动的矢量法描述点运动的矢量法 5.2 描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法 5.3 描述点运动的自然坐标法描述点运动的自然坐标法5.4 刚体的平行移动刚体的平行移动 5.5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.1 描述点运动的矢量法描述点运动的矢量法 描述点的运动描述点的运动是指确定点在参考系中每一时刻的位置、速度、加速度以及点在空间中的运动轨迹等。矢量法直角坐标法自然坐标法 点的运动的描述方法有三种：点的运动的描述方法有三种：5.1.1 运动方程运动方程 5.1 描述点运动的矢量法 一、位矢（点一
2、、位矢（点M相对于原点相对于原点O的位置矢量）的位置矢量） 二、点运动方程的矢量式二、点运动方程的矢量式 随着时间变化，变矢量随着时间变化，变矢量r的端点在空间画出一的端点在空间画出一条曲线，称为条曲线，称为r的矢量端图，也是点的矢量端图，也是点M的运动轨迹。的运动轨迹。 5.1 描述点运动的矢量法 5.1.2 速度与加速度速度与加速度 一、平均速度一、平均速度 瞬时速度瞬时速度 5.1 描述点运动的矢量法 二、瞬时加速度二、瞬时加速度 加速度是矢量，其方向沿速度矢量端图的切线方向(图5-1b)，单位为 m/s2。 速度是矢量，其方向沿r矢量端图（轨迹曲线）的切线方向，单位为m/s。 5.2
3、描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法 5.2.1 运动方程运动方程 一、位矢（点一、位矢（点M相对于原点相对于原点O的位置矢量）的位置矢量） 二、点运动方程的直角坐标表达式二、点运动方程的直角坐标表达式 5.2 描述点运动的直角坐标法 上式也是点轨迹的参数方程。由上式中消去参数t，便得到点的轨迹方程。 若点在xy平面内运动，参数方程可退化为：5.2.2 速度与加速度速度与加速度 一、速度一、速度 5.2 描述点运动的直角坐标法 速度矢量沿直角坐标轴的分量 ， ， 速度的大小速度的方向余弦为， ， 二、加速度二、加速度 5.2 描述点运动的直角坐标法 加速度矢量沿直角坐标轴的分量 ， ，
4、 由此可得出加速度的大小 加速度的方向余弦为 ， ， 例例5-1 椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图5-2所示。已知：OC=AC=BC=l，MC=a， 。试求规尺上点M的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。 5.2 描述点运动的直角坐标法 解解 建立直角坐标系Oxy如图5-2所示，M点的运动方程为 解解 建立直角坐标系Oxy如图5-2所示，M点的运动方程为 5.2 描述点运动的直角坐标法 消去t后，得轨迹方程： 由此可见，M点的运动轨迹是一个以(l+a)为长轴、(l-a)为短轴的椭圆。 为求M点的速度，应先求它沿
5、坐标轴的投影 5.2 描述点运动的直角坐标法 故M点速度的大小为 其方向余弦为 5.2 描述点运动的直角坐标法 为求M点的加速度，先求它沿坐标轴的投影 故M点的加速度大小为 其方向余弦为 5.3 描述点运动的自然坐标法描述点运动的自然坐标法 5.3.1 自然坐标系自然坐标系 一、弧坐标一、弧坐标 若已知动点M的运动轨迹，可在轨迹曲线上选定一坐标原点O，规定沿曲线某一方向为正，将弧长OM冠以适当的正负号称为动点M的弧坐标s (图5-3)。 5.3 描述点运动的自然坐标法 二、曲率和曲率半径二、曲率和曲率半径 曲率的倒数称为曲率半径，M点处的曲率半径为 定义曲线在M点处的曲率为 圆的曲率半径就是圆
6、的半径。直线的曲率为0，曲率半径 。 5.3 描述点运动的自然坐标法 三、自然坐标系三、自然坐标系 法平面与切线垂直的平面。 主法线密切面与法平面的交线。 其单位矢量用n表示。 副法线法平面内垂直于密切面的法线。 其单位矢量用b表示。自然坐标系由切线、主法线和副法线组成的正交 坐标系。 自然坐标系随点的位置不同而改变。 密切面令点 无限趋近于点 M 时， 由和 所确定的极限平面。 5.3 描述点运动的自然坐标法 一、点在弧坐标中的运动方程一、点在弧坐标中的运动方程 5.3.2 运动方程、速度与加速度运动方程、速度与加速度 运动方程也可用点的位矢表示为 5.3 描述点运动的自然坐标法 位矢r随弧
7、长s的变化率 矢量的大小为1，方向沿曲线切线，指向弧坐标s增加的方向。所以，为切向单位矢量。 5.3 描述点运动的自然坐标法 切向单位矢量随弧长s的变化率 于是得 5.3 描述点运动的自然坐标法 二、点的速度二、点的速度 点的速度可以表示为 因为 ， 所以，点的速度在自然坐标系中可以表示为 其中v为速度的大小，为点M处沿切线方向的单位矢量。即点的速度方向沿轨迹曲线的切线方向，其大小等于弧坐标对时间的一阶导数。 5.3 描述点运动的自然坐标法 三、点的加速度三、点的加速度 点的加速度可以表示为 将加速度分解，则a也可表示为 由此得 ， ， at称为切向加速度，表示速度大小的变化率；an称为法向加
8、速度，反映速度方向的变化率。 5.3 描述点运动的自然坐标法 at称为切向加速度，表示速度大小的变化率；an称为法向加速度，反映速度方向的变化率。 加速度a的大小为 其方向与主法线之间的夹角为 5.3 描述点运动的自然坐标法 几种特殊运动几种特殊运动 （1）直线运动， （2）匀速曲线运动（3）匀变速曲线运动 常量 5.3 描述点运动的自然坐标法 例例5-2 在图5-8所示的摇杆滑道机构中，滑块M同时在固定圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。圆弧BC的半径为R，摇杆的转轴O在BC弧的圆周上，摇杆绕O轴以匀角速度转动， = t。当运动开始时，摇杆在水平位置。求：（1）滑块相对于BC弧的速度、加速度；
9、（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。 5.3 描述点运动的自然坐标法 解解 （1)求滑块M相对于圆弧BC的速度和加速度 建立图示直角坐标系Oxy，动点M的坐标为 直角坐标法求解。从上述两式消去t，得轨迹方程 5.3 描述点运动的自然坐标法 滑块M的速度在坐标轴上的投影和大小分别为 其方向余弦为 5.3 描述点运动的自然坐标法 滑块M的加速度在坐标轴上的投影和大小分别为 其方向余弦为 5.3 描述点运动的自然坐标法 自然坐标法求解 。 以M点的起始位置O为原点，逆时针方向为正。 滑块M的运动方程为 速度大小为 滑块M的加速度为 ， ， 方向如图。 5.3 描述点运动的自然坐标法 （2) 再求滑块
10、M相对于摇杆的速度和加速度 将动参考系Ox固定在杆OA上。此时，滑块M在杆OA上作直线运动，相对轨迹是已知的直线。 M点的相对运动方程、相对速度和相对加速度分别为 速度与加速度的方向均沿OA方向。 5.4 刚体的平行移动刚体的平行移动 如果在运动过程中，刚体上任一直线的方向始终与它原来的方向平行，则称刚体作平行移动，简称平移。 车厢 振动筛 5.4 刚体的平行移动 1、刚体平移时，刚体内各点的轨迹形状都相同。 2、刚体平移时，刚体内各点的速度和加速度都相同。因为平移时于是，得 研究刚体的平行移动问题，归结为研究其上任一点的运动问题。5.4 刚体的平行移动 例例5-3 荡木用两条等长的钢索平行吊
11、起，钢索长为l，如图5-11所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为 。试求荡木中点M的速度和加速度。 解解 荡木作平行移动。荡木中 点 M的运动轨迹是圆周，且其速度和加速度均与点 A的 速 度 和 加 速 度 相 等 。（1）运动方程 以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则点A（同时也是点M）的运动方程为： 5.4 刚体的平行移动 （1）运动方程（2）速度和加速度上式即为点M的速度和加速度。 以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则点A（同时也是点M）的运动方程为： 5.5 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 如果在运动的刚体上（或其扩展部分）有一根直线始终保持不动，则称刚体作定轴转动。这根不动
12、的直线称为轴线或转轴。 5.5.1定轴转动方程 角速度和角加速度 刚体定轴转动的运动方程为 其中， 为描述截面位置的角坐标 (角的大小并冠以正负号，正负号由右手定则确定) 。刚体定轴转动的运动方程为 5.5 刚体的定轴转动 描述定轴转动方向及快慢的量称为角速度，用表示单位为rad/s。 也可用每分钟的转数n来表示角速度，其单位为r/min描述角速度变化方向及快慢的量为角加速度，用表示单位为rad/s2。 5.5 刚体的定轴转动 下面介绍几种特殊转动下面介绍几种特殊转动 （1）匀速转动 常量 （2）匀变速转动 常量 5.5.2 定轴转动时，刚体内任意点的速度与加速度 5.5 刚体的定轴转动 刚体
13、内任一点M作圆周运动，其在自然坐标系下的运动方程为： 1. 速度 5.5 刚体的定轴转动 1. 速度 2. 加速度 全加速度的大小为 其方向与所在点法向（R方向）的夹角为 ， 5.5 刚体的定轴转动 刚体转动时，同一时刻刚体上各点速度与加速度的分布情况如下： 在垂直于转轴的截面上，同一半径上各点的速度呈直角三角形分布，而加速度呈锐角三角形分布。 5.5 刚体的定轴转动 例例5-4一 半 径 R=0.2m的圆轮绕定轴 O的转动方程为 ，其中 的单位为 rad，t的单位为 s。 求t=1s时，轮缘上任一点 M的速度 vM和加速度 aM。如在轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A， 求 当
14、 t=1s时 ， 物 体 A的 速 度 vA和 加 速 度 aA。 解解 （1）圆轮在任一时刻的角速度和角加速度为 当t=1s时，角速度和角加速度为 5.5 刚体的定轴转动 （2）点M的速度和加速度 t=1s时点M的速度为 沿圆周切向。切向和法向加速度为 加速度的大小为 其方向角为 5.5 刚体的定轴转动 （3）物体A的速度和加速度 点M的弧长与物体A下降的距离相等，即 所以有 物体A加速度的大小为 负号表示方向向上。 方向向下。 5.5 刚体的定轴转动 例例5-5 在 图 5-16a中，平行四连杆机构在图示平面内运动 。 O1A = O2B = 0.2m，O1O2 = AB = 0.6m，A
15、M = 0.2m。 如 O1A按 = 15t的规律转动，其中 以rad计 ，t以s计 。 试 求 t = 0.8s时 ， M点的速度和加速度。 解解 O1A为定轴转动， AB杆为平移 。根据平移的特点，在同一时刻，M点与A点具有相同的速度和加速度，且M点亦作圆周运动。 5.5 刚体的定轴转动 M点也作圆周运动，其运动规律为 其速度大小为其切向和法向加速度的大小分别为 t = 0.8s时， = 12，杆AB正好第六次回到起始的水平位置，vM和aM的方向如图5-16b所示。 ，5.5.3 轮系的传动比 5.5 刚体的定轴转动 1. 齿轮传动 由于传动时两齿轮之间只有相对滚动而无相对滑动，故两接触点
16、处的线速度和切向加速度大小相等，方向相同。vM1=vM2 由于 定义两齿轮的传动比为： 5.5 刚体的定轴转动 2. 皮带轮和链轮传动 皮带轮传动的特点是：假设皮带不可伸长，皮带与皮带轮之间无相对滑动；皮带或链条上各点的速度v和切向加速度at都相同。 定义两齿轮的传动比为： 5.5 刚体的定轴转动 例例5-6 图5-19为一减速器，轴为主动轴，与电动机相联。已知电动机转速n = 1450 r/min，各齿轮的齿数z1 = 14，z2 = 42，z3 = 20，z4 = 36。求减速器的总传动比i13及轴III的转速。 解解 各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题。 轴I与II的传动比为 轴II
17、与III的传动比为 5.5 刚体的定轴转动 从轴I至轴III的总传动比为 代入已知数据，得总传动比为 轴III的转速为 其转向如图所示。 5.5 刚体的定轴转动 5.5.4 角速度和角加速度的矢量表示 1. 角速度和角加速度的矢量表示； 定义定轴转动刚体角速度矢量的作用线沿其转轴，大小为 ，指向由右手定则确定。 定义定轴转动刚体的角加速度矢量， ， 其大小为 ，作用线沿转轴，指向由右手定则确定。 5.5 刚体的定轴转动 2. 点的速度和加速度的矢积表示 定轴转动刚体上任一点M的速度v可以表示为 v = r 定轴转动刚体上任一点M的加速度可以表示为 a=r+v=r+(r) 等式右侧第一项为切向加速度at，第二项指向转动轴，为法向加速度an。故有
