《完整word版,八年级二次根式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整word版,八年级二次根式（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第五章 二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（） 。注：因为二次根式
2、（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（） 的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的
3、平方等于这个非负数。注： 二次根式的性质公式（） 是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、 化简时， 一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0， 则等于 a本身， 即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平
4、方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：123123123(0000)nnnaaaaaaaaaaaaL LL LL L，2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘
5、方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1. 明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3 2. 在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、
6、运算法则及乘法公式仍然适用；3. 在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果 . (1) 加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握 . 在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简 . 例如82627，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262 327273，通过约分达到化简目的；(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：223
7、232321，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化. 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1）aa与互为有理化因式；（2）abab与互为有理化因式；一般地ac bac b与互为有理化因式；（3）abab与互为有理化因式；一般地cadbadb与c互为有理化因式. 专题总结及应用一、知识性专题专题 1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一
8、般情况下利用二次根式的非负性来求解. 例 1 当x取何值时，913x的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知9191xx0，即的最小值为0，因为3 是常数，所以913x的最小值为 3. 解：91x0，9133x，当 9x+1=0，即19x时，9133x有最小值，最小值为3. 【解题策略】 解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即a0（a0）. 专题 2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】 对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用2|aa这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论. 例 2 下列计算正确的是（）精品p d f 资料 - - - 欢迎
9、下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 4 2712A. 822 B. 941362C. (2+5)(2-5)1 D.3 2 2分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A 选项中，822 222 ，B 选若可化为3 32 3333，C 选项逆用平方差公式可求得255（）（ 2-）=4- 5=- 1，而 D 选项应将分子、分母都乘2，得6 223 2 -12. 故选 A. 例 3 计算20062007(21)(21)的结果是（）A. 1 B. -1
10、 C. 21 D. 21分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为2006(21)( 21)(21)21.故选 D. 例 4 书知2228442 142xxyxxxyyxx，求的值. 分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义. 解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,xxxx022222872442,222772 14222 1422771422 14214.22yxyyx【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义. 例 5 化简223541294- 202522aaaaa-（ ）.22353252-3
11、0 2 -502223)(25)| 23| 25 |(23)(25)48.aaaaaaaaaaaQ解： ， ， ， ,原式（【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质2(0)|- (0).a aaaa a，例 6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简222|()().aaccab解：由a，b，c在数轴上的位置可知：图 21-8 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 5 0,00,
12、0,|()().cabaccaaaccabaaccabaaccabab 原式【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简. 22127 |1|44.|1|(2)|1|2|.10,201,2,-112,2xxxxxxxxxxxxxx例化简解：原式令，得于是实数集被分为， 三部分，-11 0, - 20,-(1)( - 2)-3.-121 0, - 20(1)(2)21.xxxxxxxxxxx当 时，原式当 时， .原式21 0,20,xxx当 时，1)(2)3.3(1)21( 12)3(2).xxxxxx原式 （，原式 ，规律方法对于无约束条件的化简问
13、题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”. 例 8 已知3,12,.abababbaba求的值分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12 中分析得到 . 解：a+b=-3，ab=12，a0，b0. 22 124 3.abababbabaabbaba【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把
14、所求的式子化简，直接代入. 专题 3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例 9 估计3212+20的运算结果应在（）A. 6 到 7 之间B. 7 到 8 之间C. 8 到 9 之间D. 9 到 10 之间分 析本 题 应 计 算 出 所 给 算 式 的 结 果 ， 原 式162042 5， 由 于456.25， 即252.5842 59，所以 . 故选 C. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 6 例1
15、0已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求mnmn的值 . 解： 91316，91316，即 3134 13的整数部分为3，即m=3，13的小数部分为13-3n=133，即，313-36136 1313.133( 133)13mnmn（）二、规律方法专题专题 4 配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用2aa=| |化简 . 例 11 化简52 6.22252 6322 32( 3)(2)2 32( 32)|32 |32.解：规律方法一般地， 对于2ab型的根式， 可采用观察法进行配方，即找出x，y(xy0) ，使得xy=b，x+y=a，则22()abxy，于是22()abxyxy，从
16、而使2ab得到化简 . 例 12 若a，b为实数，且b=355315aa，试求22babaabab的值 . 分析本题中根据b=355315aa可以求出a，b，对2baab2baab的被开方数进行配方、化简. 解：由二次根式的性质得3503350.53 05aaaa ， ，150,0.babab，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 7 22()()222.babaabababababababbaabababababbaababababb当32321515.51555ab，时，原式【解题策略】对于形如22babaabab+或形式的代数式都要变为2()abab或2()abab的形式， 当它们作为被开方式进行化简时，要注意.ababab和以及的符号专题 5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例 13 计算3535.解：令x=3535，两边同时平方得：22( 3535)x，x2
