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1、 Powered by Xuex.CC一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数 .涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用1.数 360的约数有多少个 ?这些约数的和是多少?【分析与解】360分解质因数 :360=2 2 2 3 3 5=232 5；c,(其中 a,b,c均是整数 ,且 a为 0 3,6为 0 2,c为 0 1)a2b360的约数可以且只能是因为 a、 b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为 (3+1) (2 +1) (1+1)=24360约数的和为我
2、们先只改动关于质因数3的约数 ,可以是 l,3,3 2,它们的和为 (1+3+3 2), 所以所有yw；2(1+3+3 ) 2我们再来确定关于质因数2的约数 ,可以是 l,2,2 2,2 3,它们的和为 (1+2+2 2+23)，所以所有360 约数的w；223和为 (1+3+3 ) (1+2+2 +2 )最后确定关于质因数5的约数 , 可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+3 2) (1+2+2 2+23) (1+5)于是 ,我们计算出值 : 13 15 6=1170所以 ,360所有约数的和为1170评注 :我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我
3、们给出一般结论：,将每个质因数的指数 (次数 )加 1后,所以它的约数有 (3+1) (2+1) (1 +1)= 4 3 2=24I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后2所得的乘积 .如 :1400严格分解质因数后为23个 .(包括 1和它自身 ) .约数的和是在严格分解质因数后,将 M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如：21000=23 33,所以 21000所有约数的和为 (1+2+2 2+23) (1+3) (1+5+5 2+53) (1+7)=74880Powered by Xuex.CC Powered by Xuex.CC2.一个数是 5个 2,3个 3,6
4、个 5,1个 7的连乘积 .这个数有许多约数是两位数最大的是多少 ?,那么在这些两位数的约数中,A,有 A=2536,99= 3 3 11,98= 2 7,97均不是 A的约数 ,而【分析与解】设这个数为96=25为 A的约数 ,所以 96为其最大的两位数约数3.写出从 360到 630的自然数中有奇数个约数的数【分析与解】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数 (次数 )加 1后所232,所以它的约数有 (3+1) (2+1) (1+1)=4 32=24得的乘积 .如 :1400严格分解质因数后为个 .(包括 1和它自身 )如果某个自然数有奇数个约数所得的乘积才能是奇
5、数 .而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数数个约数 ,反过来 ,有奇数个约数的数一定是完全平方数由以上分析知 ,我们所求的为 360 630之间有多少个完全平方数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1后均是奇数 ,.即完全平方数 (除 0外 )有奇?18 18=324,19 19=361, 25 25=625 , 26 26=676,所以在 360 630之间的完全平方数为192,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2即 360到 630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,6254.今有语文课本42册 ,数学
6、课本 112册 ,自然课本 70册 ,平均分成若干堆 ,每堆中这 3种课本的数量分别相等 .那么最多可分多少堆?【分析与解】显然堆数是42的约数 ,是 112的约数 ,是 70的约数 .即为 42,112,70的公约数 ,有(42,112,70)=14所以 ,最多可以分成14堆5.加工某种机器零件,要经过三道工序 ,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件 ,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件 ,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件 .要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人【分析与解】?为了使生产均衡 ,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有 A、
7、B、 C个工人 ,有 6A=10B=15C=k,那么 k的最小值为 6,10,15的最小公倍数 ,即 6,10,15=30所以 A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要 5+3+2=10 名工人6.有甲、乙、丙3人 ,甲每分钟行走120米 ,乙每分钟行走100米 ,丙每分钟行走 70米 .如果 3个人同时同向 ,从同地出发 ,沿周长是 300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后 ,3人又可以相聚 ?【分析与解】设在 x分钟后 3人再次相聚 ,甲走了 120x米 ,乙走了 lOOx米 ,丙走了 70x米 ,他们 3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍即 120x-100x,120x-70x,lO
8、Ox-70x均是 300的倍数 ,那么 300就是 20x,50x,30x的公约数有 (20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx, 所以 x=30Powered by Xuex.CC Powered by Xuex.CC即在 30分钟后 ,3人又可以相聚7.3条圆形跑道 ,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.11438开始时 ,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长千米 ,中圈跑道长千米 ,外圈跑道长千米 .甲每小时跑513千米 ,乙每小时跑4千米 ,丙每小时跑 5千米 .问他们同时出发 ,几小时后 ,
9、3人第一次同时回到出发点?2153 1 22 35141383【分析与解】甲跑完一圈需小时 ,乙跑一圈需4小时 ,丙跑一圈需5则他16402 , 1 , 3的倍数 ,即它们的公倍数35 16 40们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为2,1,32 1 3, ,35 16 4061而6 .35,16,4所以 ,6小时后 ,3人第一次同时回到出发点.评注 :求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化
10、为最简分数,这样得到的新分数即为所求的最大公约数,将分母的最小公倍数作为新分数的分母.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是 18,那么乙数是多少？【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6 90=540，则乙数为 540 18=309.A,B两数都仅含有质因数么 A,B两数的和等于多少3和 5,它们的最大公约数是75.已知数 A有 12个约数，数 B有 10个约数，那?【分析与解】方法一 :由题意知 A可以写成 32 a， B可以写成 3 52,其中 a、 b为整数且只含质因子 3、 5.1+x2+y,B=3 1+m2+n即 A:3,其中 x、 Y、 m、 n均为自然数 (可以为 0)(2+y)+1=(2+x ) (3+y)=12，由 A有 12个约数
