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1、2020北京数学高三一模19汇编 1、（2020北京朝阳一模）已知椭圆，圆（为坐标原点）.过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为.（）求椭圆的方程和圆的方程；（）过圆上的动点作两条互相垂直的直线，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.2、（2020北京东城一模）已知椭圆，它的上，下顶点分别为，左，右焦点分别为，若四边形为正方形，且面积为.（）求椭圆的标准方程； （）设存在斜率不为零且平行的两条直线，与椭圆分别交于点，且四边形是菱形，求出该菱形周长的最大值.3、（2020北京房山一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过A2,0,B(0
2、,1)两点.（I）求椭圆C的方程和离心率的大小；（II）设M，N是y轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM与椭圆C的另一个交点为P，直线AN与椭圆C的另一个交点为Q，判断直线PQ与x轴的位置关系，并证明你的结论。4、（2020北京丰台一模）已知函数.（）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；（）当时，求证：；（）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围.来源:Z|xx|k.Com5、（2020北京适应一模）已知函数，.（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的极小值；（）求函数的零点个数.6、（2020北京自适应一模）已知函数，实数（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若存在，使得
3、关于的不等式成立，求实数的取值范围7、（2020北京海淀一模）已知函数fx=ex+ax（I）当a=-1时，求曲线y=fx在点(0,f(0)处的切线方程；求函数fx的最小值；（II）求证：当a(-2,0)时，曲线y=fx与y=1-lnx有且只有一个交点。8、（2020北京密云一模）已知函数fx=exax+1,aR()求曲线y=fx在点M(0,f(0)处的切线方程；()求函数fx的单调区间；()判断函数fx的零点个数.9、（2020北京平谷一模）已知函数其中aR.(I)当a=0时,求f(x)在(1,f(1)的切线方程;(II)求证:f(x)的极大值恒大于0.10、（2020北京人大附一模）已知函数
4、fx=12x2-alnxa0.（）若a=2,求fx在(1,f(1)处的切线方程；（）求fx在区间1,e上的最小值；（III）若fx在区间1,e上恰有两个零点，求a的取值范围.11、（2020北京15中一模）已知函数f（x）lnxax2+2ax（）若a1，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）x恒成立，求实数a的取值范围12、（2020北京石景山一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.（）求椭圆C的方程；（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
5、（）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率13、（2020北京顺义一模）已知函数fx=ex-ax2,aR.（I）当a=1时，求曲线y=f(x)在点A(0,f(0)处的切线方程；（II）若f(x)在区间(0,+)上单调递增，求实数a的取值范围；（III）当a=-1时，试写出方程fx=1根的个数。（只需写出结论）14、（2020北京通州一模）已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上（）求椭圆 C的方程；（）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F问： y轴上是否存在定点G，使得OGE=OFG
6、？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由 15、（2020北京西城一模）设函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中aR.()若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处切线的倾斜角为4,求a的值;()已知导函数f(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x(1,e)时,f(x)-e2.16、（2020北京延庆一模）已知函数fx=2ax+a2-1x2+1,其中a0（）当a=1时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；（）若函数f(x)在0,+)上存在最大值和最小值，求a的取值范围.来源:Zxxk.Com答案：1、解：（）因为圆过点，所以圆的方程为：. 因为过点且斜率为的直线方程为，又因为过点
7、，所以.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为， 所以，解得.所以椭圆的方程为.（）直线与椭圆相切.理由如下：设圆上动点，所以. 依题意，设直线：. 由得. 因为直线与椭圆相切，所以. 所以.所以. 因为，所以. 所以.设直线：，由得.则.所以直线与椭圆相切14分2、解：（）因为 ， 所以 .因为 四边形为正方形，且面积为,所以 ，.所以 ，.所以 椭圆. 4分（）设平行直线，不妨设直线与交于，由，得，化简得：，其中 ，即.所以 ，由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知，所以 ，所以 .所以 当且仅当时，的最大值为.此时 四边形周长最大值为. 14分3、解：（）依题意得， 所以椭圆的方程为 ，离
8、心率的大小 （）因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数， 设，坐标为，则， 由，得直线的方程为 整理得 或得交点的纵坐标为 同理交点的纵坐标为 所以，直线与轴平行 解法二：设直线的方程为，直线的方程为 令得，坐标为，同理坐标为因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 整理得或得交点的纵坐标为 同理得 所以，直线与轴平行. 解法三：设直线的方程为，直线的方程为令得坐标为，同理坐标为因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 代入椭圆方程得或所以得交点的纵坐标为 同理得 所以，直线与轴平行.4、解：（）因为，所以.由题知，解得.4分（）当时，来源:Z&xx&k.Com所以.
9、当时，在区间上单调递减；来源:学*科*网当时，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以.8分（）由（）知，.若，则当时，在区间上单调递增，此时无极值.若，令，则.因为当时，所以在上单调递增.因为，而，所以存在，使得.和的情况如下：因此，当时，有极小值.来源:Zxxk.Com综上，的取值范围是.15分5、解：(1) 定义域为：R切点为在处的切线方程为：.(2) 令，解得：（）在、单调递增，在单调递减.在处取得极小值为.(3)由（2）知的极大值为 ,， ，函数的零点个数为1.6、【解答】解：（1），令，可得，（舍当时，函数在区间上单调递减，在区间，上的单调递增；当时，函数在区间上单调递减（2
10、）存在，使得不等式成立存在，使得不等式成立，令，在递减，在，递增，依题意只需即可令，可得在递增，在递减，且（2）实数的取值范围，7、【解析】（I）切线方程为y=1;fx=ex-1,令fx=0，得x=0；所以，当x变化时，fx与fx的变化情况如下表所示：x(-,0)0(0,1)fx-0+fx所以f(x)min=f0=1;（II）当a(-2,0)时，曲线y=f(x)与y=1-lnx有且只有一个交点等价于Fx=ex+ax+lnx-1(x0)有且只有一个零点；方法一：F(x)=ex+a+1x(x0)当x(0,1)时，ex1,1x1,-2a0,所以Fx在(0,1)单调递增；当x1,+, exe,01x1
11、,-2a0,所以Fx在1,+上单调递增；综上可知：Fx在(0,+)上单调递增；又因为F3=e3+3a+ln3-10,Fe-1=ee-1+ae+lne-1-1e12-2+ae0,g121, 1x021,所以gx00所以F(x)在x(0,+)单调递增，F1e=e1e+ae-1-1,e42e,所以e1e2,又因为a(-2,0)，F1e=e1e+ae-2e27,ae-2e-6,Fe=ee+ae-1+10根据零点存在性定理可得一定存在一个x1，使得Fx1=ex1+ax1-1+lnx1=0所以当a(-2,0)时，曲线y=f(x)与y=1-lnx有且只有一个交点8、（）解：因为，所以 ， 又因为， 所以切线方程为. （）解：因为， （1）当时因为，所以的单调增区间是，无单调减区间. （2）当时令，则 当时，与在上的变化情况如下：0+所以的单调减区间是，单调增区间是 当时，与在上的变化情况如下：+0所以的单调增区间是，单调减区间是 综上所述，当时，的单调增区间是，无单调减区间；当时，的单调减区间是，单调增区间是；当时，的单调增区间是，单调减区间是9、解：（I）由fx=(x2+ax-a)ex,
