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1、1996年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】In 2.解由=iim r(i=申=8,z-* 8 jc a / 工8 x a / 得 3q = 31n 2 9 即得 a = In 2.【答案】2jc+2y-3z = 0,【解】 【解】 设所求的平面方程为Tt-.Ax+By + Cz + D = 0,因为该平面经过原点，所以D = 0,又因为该平面经过点(6, 3,2),所以6A-3B + 2C = 0,又因为该平面与平面4无y + 2z = 8垂直，则4A B + 2C = 0,3 3解得3 = A,C =-A，故所求平面为re -Ajc + Ay-Az = 0,即兀：2工+ 2一 3n
2、 = 0.(3) 【答案】夕=ex (C2 cos + C2 sin ) + eJ (C. ,C2 为任意常数).【解】 【解】 特征方程为A2 -2A + 2 = 0,特征根为入池=1 士 i,yf 2yf + 2y = 0 的通解为夕=(C】cos jc + C2 sin x );显然y = ex为方程yf 2yf + 2y = ex的一个特解，故 yf 2yf + 2y = ex 的通解为夕=e (C】cos x + C2sin x ) + ex (Cj ,C2 为任意常数).(4) 【答案】 y.则所求的方向导数为讐|【解】A【解】Adu1x + V y2 + z213yx + / y
3、2 + z2Vy2 + /du1zdzx + Vy2 z2Vy2 + /1 duI =0,字 =寺，AB = 2,-2,1dj： 1（1,0,1） 2 dy1 （1,0,1）3z 22 门21cosa=, COS0 =-，cosy=T53u 1cosa + cos0 十 cos/ =.（ （i,o,i） ） I（ （1,0,1） ） dz I（ （1,0,1） ） L(5)【答案】2.1因为| B | = 0-1【解】【解】0 22 0 = 10H0,所以矩阵B可逆，0 3由矩阵秩的性质得厂(AB) =r(A) = 2.二、选择题(1)【答案】(D).【解】【解】x + ay （工 +（工 +
4、 J/）21996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 6 页9P ax + j)2 一 2(z+y)(z + ay ) _ a ( jc + y) 2( Jt + ay ) 9Q _ 2y3y (jc + j)4 (h+j/) (j; + j/)3由学=学得 a(.jc + y) 2( j? + ay) = 2y ,得 a = 2 9 应选(D). ox dy(2) 1答案】(E).【解】 因为lim半竿= 1O,所以由极限保号性，存在80,当OV丨乂丨0,即厂Q)0,从而yQ)在(一5,6)内单调递增.(x) 0,乂 6 (0,5)(3) 答案】(A).【解 因为正项级数工a”
5、收敛，所以工a?”收敛,” =1 = 1绝对收敛，应选(A).解】解】FQ)=加2”得级数Y ( 1)” =1 Ia 2n收敛,(j：2 z2)/(z)dz = jc 2 0J z2/(z)dz, Ff (x ) = 2x J /()dt,由 lim 尸)=21im工*0 JC 3x-* 0丄工=lim)T()=八0)工0彳骅=3.X 0 X(5)【答案】(D).【解】将行列式按第一行展开，得a! 0 00 a2 b20 63 5b4 0 0b005arAn +Ai4 = aZii 6iM14如b200b250b063004b 00=a1cz4 (a2a3 b2b ) bxb Ca2a3 b2
6、b3 )= (a 1 tz4 64 ) (a2a3 b23)9应选(D).(1)【解】弧长I = 2+ r，2(9) dd02 %/a2 (1 + cos )2 + a2 sin2 9 d9J 0=2施a + cos 9 dd = 4aJ 0* ecos d9 0 2=8aos|d0 29_=8a2 cos tdt = 8a 000(2)【解】令夕=fG ) = /6 + h ,1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 6 页因为fQ) = 0,所以”单调.2丿6 +匸由G = 10孔=4得数列&” 单调递减，再由工” 0得数列&”单调递减且有下界，故数列&收敛.令 limjc
7、” = A ,由 z卄1=5/6 + jc 得 A = /6 + A，解得 A = 3.四、(1)【解】 【解】 令Si ：n = 1(j:2 + y2 W 1),取下侧，则”(2工 + n ) dy dz + n dr dy =s分 (2j: z)dydz zdxdy jj (2x z)dydz zdx dy 9S+S S由高斯公式得 ( 2工 + n ) dy dz + n dr dy = S+Sndv =_3dz J 0 dzdy = 3 k2+/w J 3 kzdz =-o 2(2z + n ) dy dz + n dr djy = siJj dr dy =兀,2+/a2競)+a(-2
8、 去+ a3vdud2 zdy24养-也競+川舒代入整理得g2 q2(5a + 10) - F ( a2 + a + 6) -7 = 0,dydu dy5a + 10 # 0,于是+ + 6“解得 (1-c)2,0 V V c,两式相减得c2 (1 _ c)2厂(c) = /(l)-/(O)+y/(1)-r(e2).r2 (1 r)2(2)| /G) | r(E)=得 r(A) + r(E - A) = n,因为g为非零向量，所以躬丁工O,从而E-A =乳丁 HO,艮卩r(E-A) 1, 故r(A) h,即A是不可逆矩阵.令3 = U，矩阵b的特征值为儿= i,a2 = . = A = 0,A
9、 = 1,则 |a| = I e b I = 0,方法二矩阵A的特征值为小=0,心 故r （A ） V ，即A不可逆.5 一 13九、【解】九、【解】（1）令A = -1 5-3,X =，则产（工1 ,工2，工3）= XtAX ,因为二次型的秩为2,所以丨A1=0,3 - 3工2无35_ 13由 | A | =-15_ 3=24c 72 = 0,得 c = 3.3 -31996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 6 页容易验证，此时A的秩是2. A的特征多项式为| AE - A | =A 5 1 31 A -5 33 3 A 3=A (A 4)(入一9),故所求特征值为入1 =0
10、,入2 =4,入3 =9.(2)二次型f的标准形为/ = 42 + 93由此可知/(X ,x2,x3) = 1所表示的曲面是椭圆柱面.十、填空题3【答案】 y.【解】 【解】 设A, = 抽取的为A厂产品,A2 = 抽取的为B厂产品,B = 抽取的为次品,则P (A!) = 0. 6, P CA2) = 0. 4 P (B | A!) = 0. 01, P (B | A2) = 0. 02,P(A IE) P(AW) P(人)PCBIAQ11 P(B) PCAJPCB | A,) + P(A2)P(B I A2)_ _0. 6 X 0. 01_ _ _3_0. 6 X 0. 01 + 0. 4
11、 X 0. 02 T(2)【答案】【答案】2【解】【解】令U = W_q，因为诃相互独立且都服从正态分布N于是 E(怡一少 | ) = E( |U| )=所以UN(0,l),_ du =J 2低=年“= J2x2T du十一、【解】【解】(l)PX = l,Y=l = PF = lq = l = PW = lP)? = l = +，= +，P X = 1,Y = 2 = 0, P X = 1,Y = 3 = 0；2P X = 2,Y = 1 = P = 1, 7)= 2+P = 2, r/ = 1=,PX = 2,Y = 2 = P(e = 2,7 = 2 = Pe - 2Pr = 2 = *,P X = 2,Y = 3 = 0 ；2P X = 3,Y = 1 = P = 3,tj = 1 + P = 1,可=3=,2P X = 3,Y = 2 = P = 3,q = 2 + P = 2,r/ = 3=,P X = 3 ,Y = 3 = ,1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 6 页故（X,Y）的联合分布律为VyA1 2 31 0 0922 1 9 932 2 1T T T（2）随机变量X的边缘分布律为故E（X）= * +罟+ 罟=22T、9 9 9 1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 6 页
