《高三数学万能解题模板专题14导数综合应用的解题模板（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学万能解题模板专题14导数综合应用的解题模板（原卷版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题14 导数综合应用的解题模板【高考地位】导数综合问题是高考的必考的重点内容，主要在导数解答题的的第2小问，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一 利用导数研究不等式证明问题万能模板内 容使用场景一般函数的不等式证明问题解题模板构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法
2、：证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln xx1，exx1，ln xx0)，ln(x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解例1 (2016全国卷)设函数f(x)ln
3、 xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明：当x(0,1)时，1(c1)xcx.【变式演练1】（作差法证明不等式）【河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学（文）】已知函数，为的导函数（1）设，求的单调区间；（2）若，证明：【变式演练2】（换元法证明双变量不等式）【四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学（理）】已知函数，（）若在内单调递减，求实数的取值范围；（）若函数有两个极值点分别为，证明：【变式演练3】（利用二次方程韦达定理证明双变量不等式）【四川省新津中学2021届高三上学期开学考试数学（文）】已知函数，其中（1）若曲线
4、在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且，求证：【变式演练4】（极值点偏移类的不等式证明）【安徽省2020届高三5月五校联考数学理科】已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，求证：.【变式演练5】（函数与数列综合的不等式证明）【江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（二）】已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：.【变式演练6】（拆分法证明不等式）【安徽省马鞍山市2020届高三第三次教学质量监测】已知，.（1）证明：时，；（2）求函数的
5、单调区间；（3）证明：时，.类型二 利用导数研究不等式恒成立问题万能模板内 容使用场景有关不等式恒成立问题解题模板分类讨论法：常见有两种情况：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，确定以导函数值正负为分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数对利用导数研究不等式恒成立问题(能成立问题)，一般可转化为最值问题处理若af(x)对xD恒成立，则只需af(x)max；若af(x)对xD恒成立，则只需 af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)
6、成立，则只需af(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.例2(2016全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围.【变式演练7】（分离参数法解决不等式恒成立问题）【浙江省杭州高中2020届高三下学期5月高考质检】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.【变式演练8】（利用函数最值解决双参数恒成立问题）【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第一次验收考试】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）证明：在上
7、单调递增.（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.【变式演练9】（等价转化法解决不等式恒成立问题）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试】已知函数f(x)ex，其中e是自然对数的底数.（1）若关于x的不等式mf(x)m1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知正数a满足：存在x1，)，使得f(x0)a(x033x0)成立.试比较与的大小，并证明你的结论.类型三 利用导数研究函数零点问题万能模板内 容使用场景有关零点问题解题模板两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)
8、0.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明f(a)f(b)0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)f(b)0.例3(2018全国卷)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.【变式演练9】（研究函数零点个数）【江苏省淮安市淮阴中学2020-2021学年高三上学期8月测试】设函数（，）的导函数为.已知，是的两个不同的零点.（1）证明：；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求关于的方程的实根的个数.【变式演练10】（已知零
9、点存在情况求参数的值）【安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若为直线与函数图像的一个公共点，其横坐标为，且，求整数的所有可能的值.【变式演练11】（已知零点存在情况求参数的取值范围）【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第一次验收考试】已知函数.（1）当时，讨论的单调性：（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【高考再现】1.（零点问题）（2021浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个
10、不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)2.（函数图象问题）（2021全国高考真题（理）已知且，函数（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围3.（不等式证明问题）（2021全国高考真题（理）设函数，已知是函数的极值点（1）求a；（2）设函数证明:4.（零点问题）【2020年高考全国卷文数20】已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围5（零点问题）【2020年高考全国卷文数20】已知函数（1）讨论的单调性：（2）若有三个零点，求的取值范围6（恒成立问题）【2020年高考全国卷理数21】已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求
11、的取值范围7（恒成立问题）【2020年高考山东卷21】已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围8（证明不等式问题）【2020年高考全国卷理数21】设，曲线在点处的切线与轴垂直（1）求；（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明：的所有零点的绝对值都不大于9（零点问题证明不等式问题）【2020年高考浙江卷22】已知，函数，其中e=271828为自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记x0为函数在上的零点，证明：（）；（）【反馈练习】1已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）ABCD【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-20
12、22学年高三上学期8月第二次学情调研数学试题2已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【来源】解密05 导数及其应用（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练3已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_【来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）数学试题4已知函数（1）讨论的单调性：（2）若在定义城上有两个极值点，求证：【来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）数学试题5已知函数（1）当时，求在上的最值；（2）设，若有两个零点，求的取值范围【来源】陕西省汉中市2021届高三
13、下学期高考一模理科数学试题6已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：【来源】押第21题 导数的应用-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）7定义在上的关于的函数（1）若，讨论的单调性；（2）在上恒成立，求的取值范围【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月文科数学调研试题8已知定义在内的函数的导函数.（1）证明：；（2）当时，证明：函数恰有两个极值点.【来源】全国2021届高三高考数学信心提升试题9已知函数.（1）若，讨论函数的零点个数；（2）设，是函数的两个零点，证明：.【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情
14、调研数学试题10函数（1）讨论的极值点的个数；（2）设，若恒成立，求a的取值范围【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月理科数学调研试题11已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.【来源】重庆市第七中学2021届高三下学期高考仿真模拟数学试题12设函数（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题13已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题14已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题15已知函数在与时都取得极值（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围【来源】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）16已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【来源】黑龙
