《北京课改版数学九年级上册22.3《正多边形的有关计算》练习题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京课改版数学九年级上册22.3《正多边形的有关计算》练习题.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形二、正多边形有关计算(1)正n边形角的计算公式：每个内角等于(n为大于或等于3的整数)；每个外角每个中心角(2)正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系，所以，可以把正n边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距rn，另一条直角边是边长an的一半(即)；两个锐角分别为中心角的一半(即)和一个内角的一半(即)或(即90-)【重点难点解析】重点
2、是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题例1某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得：-100 解得n9答：这个正多边形的边数为9例2如图7-42，已知：正三角形ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积解：连结OB，过O作OMBC于MBOM60，OBM30OMOBR，3BMRa3BC2BMRP33a33RS33SBOC3RR2例3一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比解：如图7-43，设O，O分别是正三角形ABC
3、，正六边形EFGHIJ的中心，分别作ODBC于D，作OGH于，连OB，OG，则在RtODB中，BOD60，BDa3，r3ODBDctg60a3，S36SODB6BDOD 6a3a3a32在RtOG中，GO30，Ga6r6OGctg30a6S612SOG12GO 12a32a6a62S3S6，a23a26，即a3a2例4求证：正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半证明：如图7-44，设O是正n边形ABC的内切圆，其中AB与O相切于D，连OA，OD，OB，知ODAB且ODrn，SOABABODrn正n边形有n个如同OAB的等腰三角形，SnnSOABnrnPnrn【难题巧解点拨】例1
4、已知：如图7-45，O半径为R，求O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角解：连结OA、OB，并作OAB于点，中心角AOB45在RtAO中，AO90，OAR，AO225故AOAsinAORsin225，A03827Ra8AB2A07654R r8OOAcosAORcos22509239R说明(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角，边长an2Rsin，边心距raRcos例2已知如图7-46，等边ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积解：设BC切O于M，连OM，OB，则O
5、MBC，在RtOMB中，BOM60BMBCaOMBMctgBOMactg60a连结OE，作ONEF于N，则OEOMa在RtONE中，EON45，OEaENOEsinEONaaEF2ENaS正方形DEFGEF2(a)2说明解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出O的半径是个突破口【课本难题解答】例已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为an，求证：同圆内接正2n边形的面积等于nRan，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示)提示：如图7-47，连结OA，OB，OAAB，则OAAB，四边形OA
6、AB的面积等于ABOARan半径为R的圆内接正2n边形的面积等于nRan半径为R的正八边形的面积等于4Ra42R2【命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中【典型热点考题】例1已知正六边形的半径为3c，则这个正六边形的周长为c(2000年江苏南通)分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P66an求出周长例2已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )A正三角形 B正方形 C正六边形 D正十二边形 (2000年浙江台州)分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B)例3同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是
7、( )A B C D(2000年北京石景山)分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A)【同步达纲练习】一、填空题1正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形2正三角形的半径为R，则边长为，边心距为，面积为若正三角形边长为a，则半径为3正n边形的一个外角为30，则它的边数为，它的内角和为4如果一正n边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n边形的边数n 5正六边形的边长为1，则它的半径为，面积为6同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为7正三角形的高半径边心距为8边长为1的正六边形的内切圆的面积是二、选择题1正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )A1 B
8、21 C1 D122两圆半径之比为23，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )A23 B49 C1627 D433正三角形的外接圆半径是4c，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )A8c B4c C2c D c三、计算题1已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20c，10c，求：这个多边形的边长和面积2已知O的半径为R，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长【素质优化训练】1如图7-48所示，已知三个等圆A、B、C两两外切，E点为A、C的切点，EDBC于D，圆的半径为1，求DE的长2. 证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交
9、点，则得一个新的正六边形，而它的面 积等于原正六边形面积的三倍【知识探究习】如图7-49，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且AEF为正三角形，四边形ABCD为AEF的内接正方形，AEF为正方形ABCD的内接正三角形。(1)试猜想与的大小关系，并证明你的结论；(2)求的值参考答案【同步达纲练习】一、12n 2R R;R2 a 312；1800 4n=5 51; 6 1 7321 8二、1A 2C 3C三、1边长为20c，面积为600c22所求正方形的周长为2R【素质优化训练】1ABC为正三角形，DE2(略)【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 8
