1994年考研数学（一）真题及答案解析

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1、 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) _. (2) 曲面在点(1,2,0)处的切平面方程为_. (3) 设,则在点处的值为_. (4) 设区域为,则_. (5) 已知,设,其中是的转置,则_. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设, 则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 二

2、元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数,且级数收敛,则级数 ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (4) ,其中,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 已知向量组线性无关,则向量组 ( ) (A) 、线性无关 011limcot ()sinxxxx23zzexysinxxuey2ux y 1(2,)D222xyR2222()Dxydxdyab1 1(1,2,3),(1, )2 3TA TnA

3、4222sincos1xMxdxx3422(sincos)Nxx dx23422(sincos)Pxxx dxNPMMPNNMPPMN( , )f x y00(,)xy00(,)xfxy00(,)yfxy( , )f x y021nna21|( 1)nnnan20tan(1 cos )lim2ln(1 2 )(1)xxaxbxcxde220ac4bd4bd 4ac4ac 1234、12233441全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 17 页 (B) 、线性无关 (C) 、线性无关 (D) 、线性无关 三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.)三、(本题共

4、3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 设 求、在的值. (2) 将函数展开成的幂级数. (3) 求. 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分,其中是由曲面及两平面 所围成立体表面的外侧. 五、(本题满分 9 分)五、(本题满分 9 分) 设具有二阶连续导数,且 为一全微分方程,求及此全微分方程的通解. 六、(本题满分 8 分)六、(本题满分 8 分) 设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且,证明级数 绝对收敛. 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 已知点与的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段绕轴旋转一周所围成的旋转曲面为.

5、求由及两平面所围成的立体体积. 八、(本题满分 8 分)八、(本题满分 8 分) 1223344112233441122334412221cos( ),1cos( )cos,2txtyttuduu dydx22d ydx2t111( )lnarctan412xf xxxxxsin22sindxxx2222Sxdydzz dxdyxyzS222xyR,zR(0)zR R ( )f x(0)0,(0)1ff 2()( ) ( )0 xy xyf x y dxfxx y dy( )f x( )f x0 x 0( )lim0 xf xx11( )nfnABABzSS0,1zz全国硕士研究生入学统一考试

6、数学（一）真题第 2 页，共 17 页 设四元线性齐次方程组为 又已知某线性齐次方程组的通解为 . (1) 求线性方程组的基础解系； (2) 问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九九、( (本本题题满满分分 6 6 分分) ) 设为阶非零方阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,当时,证明 . 十十、填填空空题题( (本本题题共共 2 2 小小题题, , 每每小小题题 3 3 分分, ,满满分分 6 6 分分. .) ) (1) 已知、两个事件满足条件,且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. (2) 设相互独立的两个随机变量、具有同一分布律,

7、且的分布律为 则随机变量的分布律为_. 十十一一、( (本本题题满满分分 6 6 分分) ) 已知随机变量服从二维正态分布,且和分别服从正态分布和 ,与的相关系数,设, (1) 求的数学期望和方差； (2) 求与的相关系数； (3) 问与是否相互独立？为什么？ ( ) 12240,0,xxxx( )12(0,1,10)( 1,2,2,1)kk( ) ( ) ( )An*AATAA*TAA| 0A AB()()P ABP AB( )P Ap( )P B XYXX01P1212max,ZX Y(, )X YXY2(1,3 )N2(0,4 )NXY12XY 32XYZ Z( )E Z( )D ZXZ

8、XZXZ全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 17 页 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 【解析】原式变形后为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 原式 . (由重要极限) (2)【答案】 【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量 ,取,又平面过已知点. 已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这

9、个平面： . 因点在曲面上.曲面方程. 曲面在该点的法向量 , 故切平面方程为 , 即 . (3)【答案】 【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求,再求. , 1600020cos (sin )limsinxx xxxx300sinlimcoslimxxxxxx2001 cossin1limlim366xxxxxx0sinlim1xxx240 xyn(1,2,0)lnl(1,2,0)M( , ,)A B C000(,)xyz000()()()0A xxB yyC zz(1,2,0)( , , )0F x y z ( , , )23zF x y zzex

10、y(1,2,0)(1,2,0),2 ,2 ,14,2,02 2,1,0zFFFnyxexyz 2(1)(2)0 xy240 xy22euyuxy2cosxuxxeyyy 2221112(2,)(2,)2cosxyxxuuuxexx yy xxyx 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 17 页 . (可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点的两个偏导数存在,且有 ； . (4)【答案】 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式. 注意： , 则 原

11、式. (5)【答案】 【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 是一个数, 而 ,(是一个三阶矩阵) 2222(1)cos)0 xxexxe ( , ),( , )ux y vx y( , )x yxy( , )zf u v( , )u v( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y12zzuzvuvffxuxv xxx 12zzuzvuvffyuyv yyy 42211()4Rab2222222322220000cossincossinRRdrrdrdr drabab222200cossindd 4422221111144RRabab111123232133312n11 11,232

12、33T 1112311 1221,212 3333312TA 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 17 页 于是, . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故,且 由定积分的性质,如果在区间上,被积函数,则. 所以 , . 因而 ,应选(D). (2)【答案】(D) 【 解 析 】在 点连 续 不 能 保

13、 证在 点存 在 偏 导 数 .反之,在点存在这两个偏导数也不能保证在点连续,因此应选(D). 二元函数在点处两个偏导数存在和在点处连续并没有相关性. (3)【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因 , (第一个不等式是由得到的.) 又收敛,收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.) ()()()()nTTTTTTTTA 11111232332133312nTn 0M , a b( )0f x ( )0 ()baf x dxab4202cos0Nxdx4202cos0PxdxN PMN( , )f x y00(,)xy( , )f x y00(,)xy00(,),xfxy00(,)yfx

14、y( , )f x y00(,)xy00(,),xfxy00(,)yfxy( , )f x y00(,)xy( , )f x y00(,)xy00(,)xy22222( 1) |111112222nnnnaaannn 2210,0,()2ababab21nna2112nnp11pnn1p 1p 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 17 页 所以收敛,由比较判别法,得收敛. 故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D) 【解析】因为 , 故 , , 因此,原式左边原式右边,. 当时,极限为 0； 当时,极限为,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比

15、较： 设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 （1） 若称在该极限过程中为同阶无穷小； （2） 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为； （3） 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为 . 若不存在(不为),称不可比较. 2. 无穷小量的性质：当时,为无穷小,则 . (5)【答案】(C) 【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于,所以(A)线性相关. (B)：由于,所以(B)线性相关. 对于(C),实验几组数据不能得到 0 时,应立即计算由的系数构成的行列式,即 2211122nnan21( 1) |nnnan22211 cos( ),1( )2xxxo

16、 xexo xtan(1 cos ) (0)axbxaxa2ln(1 2 )(1)2 (0)xcxdecxc0lim222xaxacxc4ac 0,0ac0,0ac( ),( )xx( )lim.( )xlx0,l ( ),( )xx1,l ( ),( )xx( )( )xx0,l ( )x( )x( )( )xox( )lim( )xx( ),( )xx0 xx( ),( )xx( )( )( )( )( ( )xxxxox 122334410 122334410全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 17 页 , 由行列式不为 0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由 , 知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】线性相关的充分必要条件是存在某可以由 线性表出. 线性无关的充分必要条件是任意一个均不能由 线性表出. 三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.)三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.) (1)【解析】 同理 , 代入参数值 , 则 , . 【相关知识点