《2022年2022年数学分析教案第九章定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年数学分析教案第九章定积分（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载第九章定积分教学要求：1 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法； 深刻懂得并把握定积分的思想： 分割.近似求和.取极限,进而会利用定义解决问题；2. 深刻懂得微积分基本定理的意义,能够娴熟地应用牛顿- 莱布尼兹公式运算定积分；3. 懂得可积的必要条件以及上和.下和的性质, 把握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题；4. 懂得并娴熟地应用定积分的性质；5. 娴熟地把握换元积分法和分部积分法,并能解决运算问题.教学重点：1. 深刻懂得并把握定积分的思想,能够娴熟地应用牛顿- 莱布尼兹
2、公式运算定积分；2. 把握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题；3. 懂得并娴熟地应用定积分的性质；4. 娴熟地把握换元积分法和分部积分法,并能解决运算问题.教学时数 ：14 学时 1定积分概念（2 学时）教学要求： 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻懂得并把握定积分的思想：分割.近似求和.取极限,进而会利用定义解决问题；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载教学重点： 深刻懂得并把握定积分的思想.一.问题背景：1. 曲边梯形的面积 :2. 变力所作的功 : 二.不积分的定义 : 三.举例 :例
3、1已知函数在区间上可积 . 用定义求积分.解取等分区间作为分法、.取.=.由函数在区间上可积 、 每个特别积分和之极限均为该积分值.例 2已知函数在区间上可积 、 用定义求积分.解分法与介点集选法如例1 、有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载.上式最终的极限求不出来、但却说明该极限值就为积分.例 3争论 Dirichlet函数在区间上的可积性 .四.小结 ： 指出本讲要点 2Newton Leibniz公式（ 2 学时）教学要求： 深刻懂得微积分基本定理的意义,能够娴熟地应用牛顿 - 莱布尼兹公式运算定积分 .教学重点： 能够娴熟地应用牛顿 - 莱布尼兹公式运算定积
4、分. Th9.1（ N L 公 式 ）证 例 1 求;例 2 求. 3 可积条件（ 4 学时）教学要求：懂得可积的必要条件以及上和.下和的性质,把握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题.教学重点：把握可积的充要条件及可积函数类, 能独立地证明可积性的问题；一.必要条件 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载Th 9.2,在区间上有界 .二.充要条件 :1. 思路与方案 :思路:鉴于积分和与分法和介点有关、先简化积分和 .用相应于分法 的“最大” 和“ 最小” 的两个 “积分和 ”去双逼一般的积分和、即用极限的双逼原理考查积分和有极限、且与分法及介点无关
5、的条件 .方案:定义上和和下和.争论它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux 和:以下总设函数在区间上有界 .并设确界 .、 其中和分别为函数在区间上的下确界和上定义 Darboux 和、指出 Darboux 和未必为积分和 .但 Darboux 和由分法唯独确定 . 分别用.和记相应于分法的上（大）和.下（小）和与积分和 . 积分和为数集 多值 .但总有、因此有.和的几何意义 .3. Darboux 和的性质 :本段争论 Darboux 和的性质 、目的为建立 Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示为的加细 .性质 1如、就、.即 :分法加细 、大和不增 、
6、小和不减 .证 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载性质 2对任何、有、.即 :大和有下界、 小和有上界 .证 性质 3对任何和、总有.即:小和不会超过大和.证.性质 4设为添加个新分点的加细 .就有+、.证设为只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法、分别设、.明显有和.于为.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得其次式 .可类证第一式 .系设分法有个分点,就对任何分法,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载,.证.4. 上积分和下积分 :设函数在区间上有界 .由以上性质2 ,有上界 ,有下界 .因此它们分别有上确界和下确界.定义
7、记、.分别称和为函数在区间上的上积分 和下积分 .对区间上的有界函数、和存在且有限 、.并且对任何分法、有.上.下积分的几何意义 .例 1求和.其中为 Dirichlet函数 .5. Darboux 定理 :Th 1设函数在区间上有界 、为区间的分法 . 就有=、=.证只证第一式 .要证 :对使当时有.为明显的 .因此只证. 、对、使精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载设有个分点 、对任何分法、由性质 4 的系、有、 由*式、得即亦即.于为取对任何分法、成立. 可设对任何分法、否就、只要为常值函数 、就有=.此即=.6. 可积的充要条件 :Th 2（ 充要条件 1 ）
8、设函数在区间上有界 .=.证设=、就有=.即对使当时有| 对成立.在每个上取、使、于为、| =.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载因此、时有| + | +=.此即=.由Darboux 定理 、=.同理可证=.=.对任何分法、有、而=.令和的共值为、由双逼原理=.Th 9.3有界.证对 = 0.即对.时、.、由、=.定义称为函数在区间上的振幅或幅度 .易见有0 .可证=Th 9.3 充要条件 2 有界.对.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载Th 3 的几何意义及应用Th 3的一般方法 :为应用 Th 3 、通常用下法构造分法:当函数在区间上
9、含某些点的小区间上作不到任意小时 、可试用在区间上的振幅作的估量 、有.此时、倘能用总长小于、否就为常值函数 的有限个小区间复盖这些点,以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点,在区间的其余部分作分割,使在每个小区间上有、对如此构造的分法、有.Th 4 R 可积函数的特点 设在区间上有界 .对和、使对任何分法、只要、对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积 、对和、使对任何分法、只要、就有.对的区间总长小于此时有=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=三 可 积 函 数 类 ： 1闭区间上的连续函数必可积： Th 5（ 证 ）2闭区间上有界且仅有有限个间断点的函
10、数可积.Th 6（ 证 ）推论 1闭区间上按段连续函数必可积.推论 2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点、就函数在区间上可积 .例 2判定题 :闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.闭区间上有无穷多个间断点的函数必不行积.3. 闭区间上的单调函数必可积：Th 7（ 证 ）例 3证明在上可积 . 4定积分的性质（ 2 学时）教学要求：懂得并娴熟地应用定积分的性质；教学重点： 懂得并娴熟地应用定积分的性质；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载一.定积分的性质 :1.线性性质 :Th 1 Const 、且.（ 证）Th 2、且.（ 证）综上 、定积分为线性运算.2.乘积可积性 :Th 3、.证和有界.设、且可设.否就或恒为零 .插项估量、有.但一般.3.关于区间可加性 :Th 4有界函数在区间和.证明并说明几何意义上可积,、 并有规定、.系设函数在区间上可积 .就对、有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载
