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1、精选学习资料 - - - 欢迎下载1学问梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事,有几类方法,在第一类中有m1 种有不同的方法,在第2 类中有 m2 种不同的方法在第n 类型有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法； 2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事,需要分成n 个步骤,做第 1 步有m1 种不同的方法,做第2 步有m2 种不同的方法,做第 n 步有mn 种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法；特殊提示： 分类计数原理与 “分类 ”有关,要留意 “类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与 “分步 ”有关, 要留意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,
2、应用这两个原理进行正确地分类.分步,做到不重复.不遗漏；3排列：从 n 个不同的元素中任取 mm n个元素,依据肯定次序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.4排列数：从n 个不同元素中取出mm n个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号表示 .5排列数公式： 特殊提示：（ 1）规定 0. = 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法为：设重集S 有 k 个不同元素 a1, a2、.an 其中限重复数为n1.n2nk ,且
3、 n =n1+n2+nk 、就 S 的排列个数等于.例如：已知数字3.2.2,求其排列个数又例如： 数字5. 5.5.求其排列个数？其排列个数.6组合：从n 个不同的元素中任取mm n个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.7组合数公式：8两个公式：特殊提示：排列与组合的联系与区分.联系：都为从n 个不同元素中取出m 个元素 .区分：前者为 “排成一排 ”,后者为 “并成一组 ”,前者有次序关系,后者无次序关系 .2典型例题考点一 : 排列问题例 1.六人按以下要求站一横排,分别有多少种不同的站法？（ 1）甲不站两端；（ 2）甲.乙必需相邻；（ 3）甲.乙不相邻；精品
4、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）甲.乙之间间隔两人；（ 5）甲.乙站在两端；（ 6）甲不站左端,乙不站右端.考点二 : 组合问题例 2.男运动员 6 名,女运动员4 名,其中男女队长各1 人.选派5 人外出竞赛 .在以下情形中各有多少种选派方法？（ 1）男运动员3 名,女运动员2 名；（ 2）至少有 1 名女运动员；（ 3）队长中至少有1 人参与；（ 4）既要有队长,又要有女运动员.考点三 : 综合问题例 3.4 个不同的球, 4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.（ 1）恰有 1 个盒不放球,共有几种放法？（ 2）恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法？（ 3）恰有 2
5、个盒不放球,共有几种放法？当堂测试1.从 5 名男医生.4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男.女医生都有,就不同的组队方案共有（）A.70种B.80 种C.100种D.140种精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.亚运会组委会要从小张.小赵.小李.小罗.小王五名理想者中选派四人分别从事翻译.导游.礼仪.司机四项不同工作,如 其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,就不同的选派方案共有（）A.48种B.12 种C.18 种D.36 种3.从 0, 1,2, 3,4, 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数字的四位数的个数为（
6、）A.48B.12C.180D.1624.甲组有 5 名男同学,3 名女同学；乙组有6 名男同学, 2 名女同学；如从甲. 乙两组中各选出2 名同学, 就选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）A.150 种B.180 种C.300 种D.345 种5.甲.乙两人从4 门课程中各选修2 门,就甲.乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.366.用 0到 9这 10个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A 324B.328C.360D.6487.从 10 名高校毕业生中选3 人担任村长助理,就甲.乙至少有1 人入选,而丙没有入选的不同选法
7、的总数为（）A.85B.56C.49D.28精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.将甲.乙.丙.丁四名同学分到三个不同的班,每个班至少分到一名同学, 且甲.乙两名同学不能分到同一个班,就不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.309.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排, 如男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,就不同排法的种数为（）A.360B.288C.216D.96参考答案：例 1解：（ 1）方法一：要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1 个,有种站法, 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法,依据分步乘法计数原理,共有站
8、法：方法二：由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5 个人中选 2个人站,有种站法,然后中间4 人有种站法,依据分步乘法计数原理,共有站法：方法三： 如对甲没有限制条件共有种站法, 甲在两端共有种站法,从总数中减去这两种情形的排列数,即共有站法：（ 2）方法一：先把甲.乙作为一个“整体 ”,看作一个人,和其余 4 人进行全排列有种站法,再把甲.乙进行全排列,有种站法,依据分步乘法计数原理,共有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二：先把甲.乙以外的4 个人作全排列,有种站法,再在5 个空档中选出一个供甲.乙放入,有种方法,最终让甲.乙全排列,有种方法,共有（ 3）由于甲.乙不相邻,
9、中间有隔档,可用“插空法 ”,第一步先让甲.乙以外的4 个人站队,有种站法；其次步再将甲.乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中,有种站法,故共有站法为也可用 “间接法 ”,6 个人全排列有种站法,由（ 2）知甲.乙相邻有种站法,所以不相邻的站法有.（ 4）方法一：先将甲.乙以外的4 个人作全排列,有种,然后将甲. 乙按条件插入站队, 有种,故共有站法.方法二： 先从甲. 乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲. 乙之间的两个位置上,有 种,然后把甲.乙及中间 2 人看作一个 “大”元素与余下 2 人作全排列有 种方法,最终对甲.乙进行排列,有种方法,故共有站法 .（ 5）方法一：第一考
10、虑特殊元素,甲.乙先站两端,有种,再让其他 4 人在中间位置作全排列,有种, 依据分步乘法计数原理,共有站法 .方法二：第一考虑两端两个特殊位置,甲.乙去站有种站法,然后考虑中间4 个位置,由剩下的4 人去站,有种站法,由分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载步乘法计数原理共有站法 .（ 6）方法一： 甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法,甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有种,故共有站法 .例 2解（1）第一步：选3 名男运动员,有种选法 .其次步：选2 名女运动员,有种选法 .共有
11、种选法 .（ 2）方法一至少 1 名女运动员包括以下几种情形：1 女 4 男, 2 女 3 男, 3 女 2 男, 4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二“至少 1 名女运动员”的反面为 “全为男运动员 ”可用间接法求解 .从 10 人中任选 5 人有种选法,其中全为男运动员的选法有种.所以 “至少有 1 名女运动员”的选法为.（ 3）方法一：可分类求解： “只有男队长 ”的选法为；“只有女队长 ”的选法为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载“男.女队长都入选”的选法为；所以共有种选法 .9 分方法二：间接法：从 10 人中任选 5 人有种选法 .其中不选队长的方
12、法有种.所以 “至少1 名队长 ”的选法为种. 9 分（ 4）当有女队长时,其他人任意选,共有种选法 .不选女队长时,必选男队长, 共有种选法 .其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有种选法 .所以既有队长又有女运动员的选法共有种.例 3 解（ 1）为保证 “恰有1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个, 问题转化为“4个球, 3 个盒子, 每个盒子都要放入球,共有几种放法？”即把 4 个球分成2, 1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选1 个放2 个球, 其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分步乘法计数原理,共有（ 2）“恰有1 个盒内有 2 个球 ”,即另外
13、 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放1 个球,也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此,“恰有1 个盒内有 2 个球 ”与“恰有1 个盒不放球”为同一件事, 所以共有 144 种放法 .（ 3）确定 2 个空盒有种方法 .4 个球放进2 个盒子可分成（ 3, 1）.（ 2, 2）两类,第一类有序不匀称分组有种方法； 其次类有序匀称分组有种精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法 .故共有种.当堂检测答案1.从 5 名男医生.4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男.女医生都有,就不同的组队方案共有（）A.70种B.80 种C.100种D.140种解析：分为 2
14、男 1 女,和 1 男 2 女两大类, 共有=70种,解题策略：合理分类与精确分步的策略；2.亚运会组委会要从小张.小赵.小李.小罗.小王五名理想者 中选派四人分别从事翻译.导游.礼仪.司机四项不同工作,如 其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,就不同的选派方案共有（）A.48种B.12 种C.18 种D.36 种解析：合理分类,通过分析分为（1）小张和小王恰有1 人入选,先从两人中选1 人,然后把这个人在前两项工作中支配一个,最终剩余的三人进行全排列有种选法；（ 2）小张和小赵都入选,第一支配这两个人,然后再剩余的3 人中选 2 人排列有种方法；共有 24+12=36 种选法；解题策略： 1.特殊元素优先支配的策略；2.合理分类与精确分步的策略；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.排列.组合混合问题先选后排的策略；3.从 0, 1,2, 3,4, 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数字的四位数的个
