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1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年高考数学专题复习导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为。(2)若可导函数在 处取得极值,则。反之,不成立。(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。(4)函数在区间I上递增(减)的充要条
2、件是:恒成立( 不恒为0).(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。(若为二次函数且I=R,则有)。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立(7)若,恒成立,则; 若,恒成立,则(8)若,使得,则;若,使得,则.(9)设与的定义域的交集为D,若D 恒成立,则有.(10)若对、 ,恒成立,则.若对,使得,则. 若对,使得,则.(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,若对,,使得=成立,则。(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.(
3、13)证题中常用的不等式: 1 xx+ sinxx (0x) lnxx0)1、 有关切线的相关问题例题、【2015高考新课标1,理21】已知函数f(x)=.()当a为何值时,x轴为曲线 的切线;【答案】()跟踪练习:1、【2011高考新课标1,理21】已知函数,曲线在点处的切线方程为。()求、的值;解:()由于直线的斜率为,且过点,故即解得,。2、(2013课标全国,理21)设函数f(x)x2axb,g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a,b,c,d的值;解:(1)由已知得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)
4、4.而f(x)2xa,g(x)ex(cxdc),故b2,d2,a4,dc4.从而a4,b2,c2,d2.3、 (2014课标全国,理21)设函数,曲线在点(1,处的切线为. ()求;【解析】:() 函数的定义域为,由题意可得(),故 6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用(一)单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题:【2015高考江苏,19】 已知函数. (1)试讨论的单调性;【答案】(1)当时, 在上单调递增;当时, 在,上单调递增,在上单调递减;当时, 在,上单调递增,在上单调递减当时,时,时,所以函数在,上单调递增,在上单调递减练习:1、已知函数.当时,讨论的单调性;答案:,令
5、当时,当,函数单调递减;当,函数单调递增.当时,由,即,解得.当时,恒成立,此时,函数单调递减;当时,,时,函数单调递减;时,函数单调递增;时,函数单调递减.当时,当,函数单调递减;当,函数单调递增.综上所述:当时,函数在单调递减,单调递增;当时,恒成立,此时,函数在单调递减;当时,函数在递减,递增,递减.2、已知为实数,函数,函数,令函数当时,求函数的单调区间解:函数,定义域为当时,令,得 9分当,即时,当时,函数的单调减区间为,11分 当时,解得 , 令,得,;令,得 13分 当时,函数的单调减区间为,;函数单调增区间为 15分 当,即时,由(2)知,函数的单调减区间为及2、 根据判别式进
6、行讨论例题:【2015高考四川,理21】已知函数,其中.(1)设是的导函数,评论的单调性;【答案】(1)当时,在区间上单调递增, 在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增.【解析】(1)由已知,函数的定义域为,所以.当时,在区间上单调递增, 在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增.练习: 已知函数,(1)求函数的单调区间;解:函数的定义域为 令,得,记 ()当时,所以单调减区间为; 5分 ()当时,由得, 若,则,由,得,;由,得 所以,的单调减区间为,单调增区间为; 7分若,由(1)知单调增区间为,单调减区间为; 若,则, 由,得;由,得 的单调减区间为,单调增区间为 9分综上所述:当时,
7、的单调减区间为; 当时,的单调减区间为,单调增区间为; 当时,单调减区间为,单调增区间为 10分2. 已知函数求函数的单调区间;解:函数的定义域为, 1分(1)当时,在上恒成立,则在上恒成立,此时在上单调递减 4分(2)当时,()若,由,即,得或; 5分由,即,得6分所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为 7分()若,在上恒成立,则在上恒成立,此时 在上单调递增 3、 含绝对值的函数单调性讨论例题:已知函数.(1)若a=1,求函数在区间的最大值;(2)求函数的单调区间;(3)若恒成立,求的取值范围解:(1)若a=1, 则 当时, ,, 所以在上单调增, . 2分 (2)由于, ()当时,则
8、, 令,得(负根舍去), 且当时,;当时, 所以在上单调减,在上单调增.4分()当时,当时, , 令,得(舍),若,即, 则,所以在上单调增;若,即, 则当时,;当时,所以在区间上是单调减,在上单调增. 6分当时, ,令,得,记,若,即, 则,故在上单调减;若,即, 则由得,且,当时,;当时,;当 时,所以在区间上是单调减,在上单调增;在上单调减. 8分综上所述,当时,单调递减区间是 ,单调递增区间是;当时, 单调递减区间是,单调的递增区间是;当时, 单调递减区间是(0, )和,单调的递增区间是和. 10分(3)函数的定义域为 由,得 *()当时,不等式*恒成立,所以;()当时,所以; 12分
9、()当时,不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立令,则因为,所以,从而因为恒成立等价于,所以令,则再令,则在上恒成立,在上无最大值综上所述,满足条件的的取值范围是 16分2设为实数,函数(2)求函数的单调区间4、 分奇数还是偶数进行讨论例题:【2015高考天津,理20已知函数,其中.(I)讨论的单调性;【答案】(I) 当为奇数时,在,上单调递减,在内单调递增;当为偶数时,在上单调递增,在上单调递减. (II)见解析; (III)见解析. (2)当为偶数时,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以,在上单调递增,在上单调递减.5、 已知单调区间求参数范围例题:(14年全国大纲卷文)函数f
10、(x)=ax3+3x2+3x(a0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.解:(1),的判别式=36(1-a).(i)若a1,则,且当且仅当a=1,x=-1,故此时f(x)在R上是增函数.(ii)由于a0,故当a1时,有两个根:,若0a0,x0时, ,所以当a0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.若a0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当且,解得.综上,a的取值范围是.二、极值(一)判断有无极值以及极值点个数问题例题:【2015高考山东,理21】设函数,其中. ()讨论函数极值点的个数,并说明理由;(2)当 时, 当时, ,
11、所以,函数在上单调递增无极值;当 时, 设方程的两根为 因为 所以, 由可得:所以,当时, ,函数单调递增;当时, ,函数单调递减;当时, ,函数单调递增;因此函数有两个极值点(3)当 时,由可得:当时, ,函数单调递增;当时, ,函数单调递减;因此函数有一个极值点综上:当 时,函数在上有唯一极值点;当时,函数在上无极值点;当时,函数在上有两个极值点;例题:【2015高考安徽,理21】设函数. ()讨论函数在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;【解析】(),. ,. 因为,所以. 当时,函数单调递增,无极值. 当时,函数单调递减,无极值. 当,在内存在唯一的,使得. 时,函数单调递减;
12、时,函数单调递增. 因此,时,函数在处有极小值.(2) 已知极值点个数求参数范围例题:【14年山东卷(理)】 设函数(为常数,是自然对数的底数)(I)当时,求函数的单调区间;(II)若函数在内存在两个极值点,求k的取值范围。练习:1、【2014年天津卷(理)】2、(2014湖南)(本小题满分13分)已知常数,函数. ()讨论在区间上的单调性;()若存在两个极值点,且,求的取值范围.【解析】(),(*)因为,所以当时,当时,此时,函数在单调递增,当时, (舍去),当时,;当时,.故在区间单调递减,在单调递增的.综上所述当时,此时,函数在单调递增,当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. ()由(*)式知,当时,函数不存