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1、精选优质文档-倾情为你奉上裂项相消法专题1(2014成都模拟)等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6,()求数列an的通项公式;()设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和【答案】()设数列an的公比为q,由a32=9a2a6有a32=9a42,q2=由条件可知各项均为正数,故q=由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1,a1=故数列an的通项式为an=()bn=+=(1+2+n)=,故=2()则+=2(1)+()+()=,数列的前n项和为,2,(2013江西)正项数列an满足(2n1)an2n=0(1)求数列an的通项公式an;(2)
2、令bn=,求数列bn的前n项和Tn【答案】(1)由正项数列an满足:(2n1)an2n=0,可有(an2n)(an+1)=0an=2n(2)an=2n,bn=,bn= = =,Tn=数列bn的前n项和Tn为3(2013山东)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1()求数列an的通项公式;()设数列bn满足=1,nN*,求bn的前n项和Tn【答案】()设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1有:,解有a1=1,d=2an=2n1,nN*()由已知+=1,nN*,有:当n=1时,=,当n2时,=(1)(1)=,n=1时符合=,nN*由()
3、知,an=2n1,nN*bn=,nN*又Tn=+,Tn=+,两式相减有:Tn=+(+)=Tn=34.(2010山东)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26an的前n项和为Sn()求an及Sn;()令(nN*),求数列bn的前n项和Tn【答案】()设等差数列an的公差为d,a3=7,a5+a7=26,有,解有a1=3,d=2,an=3+2(n1)=2n+1;Sn=n2+2n;()由()知an=2n+1,bn=,Tn=,即数列bn的前n项和Tn=5.(2008四川)在数列an中,a1=1,()求an的通项公式;()令,求数列bn的前n项和Sn;()求数列an的前n项和Tn【答案】()由条
4、件有,又n=1时,故数列构成首项为1,公式为的等比数列,即()由有,两式相减,有:,()由有Tn=2Sn+2a12an+1=6.(2010四川)已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为4()求数列an的通项公式;()设bn=(4an)qn1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn【答案】(1)设an的公差为d,由已知有解有a1=3,d=1故an=3+(n1)(1)=4n;(2)由(1)的解答有,bn=nqn1,于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若q1,将上式两边同乘以q,有qSn=1q1+2q2+3q3+nqn上面两式相减,有(q1)Sn=nqn(1+q+q2+qn1)=nqn于是
5、Sn=若q=1,则Sn=1+2+3+n=,Sn=7.(2010四川)已知数列an满足a1=0,a2=2,且对任意m、nN*都有a2m1+a2n1=2am+n1+2(mn)2(1)求a3,a5;(2)设bn=a2n+1a2n1(nN*),证明:bn是等差数列;(3)设cn=(an+1an)qn1(q0,nN*),求数列cn的前n项和Sn【答案】(1)由题意,令m=2,n=1,可有a3=2a2a1+2=6再令m=3,n=1,可有a5=2a3a1+8=20(2)当nN*时,由已知(以n+2代替m)可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2(n+1)+1a2(n+1)1(a2n+1a2n1)=
6、8即bn+1bn=8bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1=a3a1=6,公差为8的等差数列则bn=8n2,即a2n+1a2n1=8n2另由已知(令m=1)可有an=(n1)2an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1当q=1时,Sn=2+4+6+2n=n(n+1)当q1时,Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以q,可有qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减,有(1q)Sn=2(1+q+q2+qn1)2nqn=22nqn=2Sn=2综上所述,Sn=8.(2009湖北)已知数列an是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=
7、55,a2+a7=161)求数列an的通项公式;2)数列an和数列bn满足等式an=(nN*),求数列bn的前n项和Sn【答案】(1)设等差数列an的公差为d,则依题意可知d0由a2+a7=16,有,2a1+7d=16由a3a6=55,有(a1+2d)(a1+5d)=55由联立方程求,有d=2,a1=1/d=2,a1=(排除)an=1+(n1)2=2n1(2)令cn=,则有an=c1+c2+cn an+1=c1+c2+cn+1两式相减,有an+1an=cn+1,由(1)有a1=1,an+1an=2cn+1=2,即cn=2(n2),即当n2时,bn=2n+1,又当n=1时,b1=2a1=2bn=于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26,n2,专心-专注-专业