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1、2.41波的传播的多解性【学习目标】1. 理解波传播的时间周期性特征。2. 理解波传播的空间周期性特征。【要点梳理】要点一、波的传播的多解性的形成原因机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波 动问题多解的主要原因.解题时常出现漏解，现归类分析.1. 波动图像的周期性形成多解机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则 是相同的.机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理 量可分别表示为：s = nA, + As , t = kT + At , v =
2、s/1 = (；7A + As)/(kT + d/),其中 =k = 0, 1,2, 3,.2. 波的传播方向的双向性形成多解在一维条件下，机械波既可以向x轴正方向传播，也可以向x轴负方向传播，这就是波传播的双向性.3波形的隐含性形成多解许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给岀了几个特点，而其余部分处于隐含状态.这样，一道 习题就有多个图形与之对应，从而形成多解.由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解.解题时要先建立通式， 再根据限制条件从中取出符合题意的解.要点二、波的传播的多解性的解题方法1.多解问题的解题技巧(1) 方向性不确定出现多解.波总是由波源
3、发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然.因此, 题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往往凭主观选定某一方 向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解.【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中M点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振 动周期为0.8 s,问M至少过多长时间达到波峰位置？【解析】题设条件中没有给出M点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论, 当波向右传播时，M点向下振动，则至少经过3T/4才能达到波峰；当波向左传播时，质点M向上振动，则 至少需要T/4才
4、能够到达波峰，所以此题应该有两个答案.即至少再经过0.6 s或0.2 s, M点到达波峰.(2) 时间、距离不确定形成多解.沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前后两个相 邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与波长的关系，就会 岀现多解现象，学生解题时只按4小于丁或4丫小于久来解，就会造成用特解取代通解的现象.【例】如图所示。实线表示/时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过4时的波形图线， 已知波长为2,求波的传播速度是多大？【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内，
5、波向右传播的距离可能是 A/4 ,52/4 ,92/4 , 即 伙+ 1/4)2 (k = 0, 1,2, 3,)，则 可求出波速的通解.即v =二伙+ 1/4)2/4 = (4力 + 1)久/(44)(佥=0, 1,2, 3,).(3) 波形的隐含性形成多解.在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解，学生在想 不到所有可能的情况下，就会出现漏解.【例】如图所示，A. B是一列简谐横波中的两点.某时刻，/正处于正向最大位移处，另一点B恰好通 过平衡位置向-y方向振动.已知/、B的横坐标分别为=0, x5=70m,并且波长2符合不等式： 20m80m,求
6、波长2.2040 6080 x/m【解析】根据题口中昇点和3点的位置，作出4 3间的两种最简波形图(如图中的实、虚两种曲线波形).1 4/7 +1由实线最简波形图写出这种情况的通式为心-厂=得70 =A.I 4丿44x70所以波长通式为久= m ,其中n =1,2,3,-,将7/ = 0, 1,2,3,-依次代入通式解得4/7 + 1171A = 280 m, 56 m，31m，由己知20 m/L 8 0 m的限制条件，波长应为21 m或31m或56m,9139且该波向-X方向传播。34/?+ 3由虚线最简波形，写出这种情况的通式为心-心=/? + -久，得70 = f 久，所以波长的通式 I
7、 4丿44x7()2 =m , 其中刃=0,1,2,3,，将/?=0, 1,2,3,-依次代入通式解得4 + 3A = 93-m, 40 m, 25丄m,由已知20mA80m的限制条件，波长应为25m或40m,且波向3 11II+x方向传播.715即波长2可能为21m, 31-m, 56m, 25m, 40m.139112.波动的周期性理解要点内容说明或提示(1)质点振动路程的周期性(1)式中/为振幅，心为不足一次全振动通s - n-AA-As ( = 0, 1, 2 )过的路程(2)传播距离的周期性：(2 )式中2为波长，4c是不足一个波长的那x = nA +Ax (刃=0, 1, 2 )部
8、分距离，如Ax = A/4等(3)传播时间的周期性：(3)式中卩为周期，心是不足一个周期的那t = nT 4-zl/ (并=0,1, 2, )部分时间，如At = T/4等(4)传播速度可能的多解性：(4)式中n = 02 x A7/1 +Ar Ax ? _ _ T t nT + A/ Az【典型例题】类型一、波的周期与双向性引起多解的问题例1. 一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经2xi(r2s后的波形如图中虚线所示，则该波的波速卩和频率/可能是()A. v 为5m/sB. v 为 35 m/s C. /为 50 Hz D. f 为37.5 Hz【思路点拨】假设向右传播，对问题进行处理
9、，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论.【答案】X、B、D【解析】由两时刻的波形图可以直接读出：若波向右传播时波传播的最小距离为0.1 m；若波向左传播时 波传播的最小距离为0.3 m . 2 = 0.4 m,考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向右、向左可能传播 的距离分别是：冷右=(巾2 + 0.1) m = (0.4巾+ 0.l)m,(7? = 0, 1,2, 3,)s左=(泌+ 0.3) m = (0.4/7 4-0.3)m, ( = 0, 1,2, 3,)向右、向左传播对应的周期分别为厂占、T其、贝hAr = 2xlO_2s = /?7L+Zc (刃=0, 1,2,
10、3,)或=(川=0, 1,2, 3,)由v =-得v右=辛=(20/7 + 5)m/s ,A/= (20 + 15)m/s,f右=(50/7 + 12.5) Hz,/左=(50/7 + 37.5) Hz.令“取不同的值可得A、B、D三项正确.【总结升华】由于没有明确波的传播方向，则两波形所间隔的时间与周期的关系是不明确的，解此类问题, 可以假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论.举一反三：【变式1】有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10Hz ,振动方向沿竖直方向.当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m处的质点0刚好到达最高点.由
11、此可知波速和传播方向可能是( )A、8m/s ,向右传播 B、8m/s ,向左传播；C、24m/s,向右传播 D、24m/s ,向左传播；【答案】BC【变式2在波的传播直线上有两个介质质点/、，它们相距60cm,当质点在平衡位置处向上振动 时，B质点处于波谷位置.若波速的大小为24m/s,则波的频率可能值是()A. 30Hz B. 410Hz C. 400Hz D. 490Hz【答案】ABD【解析】向右传播：( =0, 1,2, 3,)0.6m = (n+)24=40n + 10.向左传播：( =0, 1,2, 3,)30.6m = ( + )240.6f = 40 + 30 .对左右传播方向
12、的频率分别代入(77 = 0, 1,2, 3,)可得ABD正确。类型二、波的传播方向不确定引起的多解例2. (2015嘉兴校级期中)如图所示，实线是沿兀轴传播的一列简谐横波在(=0时刻的波形图，虚线是这列波在r=0.2s时刻的波形图.已知该波的波速是0.8 in/s,则下列说法正确的是(A. 这列波的波长是14 cmB. 这列波的周期是0.125 sC. 这列波可能是沿x轴正方向传播的D. Z=0时，兀=4cm处的质点的速度方向沿y轴负方向【答案】D 【解析】由图象可知该波的波长为E选项A错误;波的周期令晋s = ()C,选项B错误;2若波沿X轴正方向传播则满足/ = (+)八 = 0,1,2
13、,3.),把周期和时间间隔代入解得不符合条件，所以选 项C错误；由C选项错误可知这列波是沿兀轴负方向传播的，所以在F0时，x=4cm处的质点的速度方向沿 卩轴负方向.答案为D.9举一反三：【变式】如图所示，实线是一列简谐横波在f = 0时刻的波形图，虚线是这列简谐横波在t = 0.2s时刻的波 形图，波中质点的振动周期卩大于0.2s,求：（1）由图中读出波的振幅和波长；（2）若波沿x轴正方向传播，波速是多大？波动周期是多大?（3）若波沿x轴负方向传播，波速是多大？波动周期是多大?【答案】(1) 10cm 24cm(2) v = - = 0.9m/st 0.2s 0.06 八 .(3) v =
14、- = 0.3m/st 0.2V 0.915丁 A 0241 =V 0.3= ().8s例3. 一列简谐横波沿直线传播，该直线上的a、b两点相距4.42 m .图中实、虚两条曲线分别表示平衡位置在a、b两点处质点的振动曲线.从图示可知（）.A.此列波的频率一定是10 HzB此列波的波长一定是0.1 mC.此列波的传播速度可能是34 m/sD.。点一定比b点距波源近【思路点拨】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。【答案】A、C【解析】本题考查机械波和机械振动有关的知识，本题为中等难度题目.由振动图像可得其周期为0.1 S, 可得其振动频率为10 Hz, a和b相距4.42 m ,由图像可知：3sah = 4.42 =+ 77A （ = 0, 1,2, 3,）或7s. 4.42 =入+n入（ =0, 1,2, 3,），1（）-所以.44.2110+ 344.210/ + 7在前一个等式中若H = 1 ,则人=3.4,v = = 34m/s ,a和b哪个质点更靠近波源，我们是无法判断的.【总结升华】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。类型三、传播时间与周期关系不确定引起的多解例4. 一列简谐横波图像如图所示，人时刻的波形如图中实线所示，乙时刻的波形如图中虚线所示，已知(1) 这列波的可能波速的表达
