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1、第二章 逻辑代数基础逻 辑 代 数 基 础第 二 章第二章 逻辑代数基础逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！ 1847年,英国数学家乔治布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数”。1938年，克劳德向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数。第二章 逻辑代数基础本章知识要点： 基本概念 ； 基本定理和规则规则 ； 逻辑逻辑 函数的表示形式 ； 逻辑逻辑 函数
2、的化简简 。第二章 逻辑代数基础 逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L=K,+,-,0,1。该系统应满足下列公理。 2.1 逻辑代数的基本概念公 理 1 交 换 律对于任意逻辑变量A、B，有A + B = B + A；AB = B A公 理 2 结 合 律对于任意的逻辑变量A、B、C，有(A + B) + C = A + ( B + C )( AB ) C = A( B C )第二章 逻辑代数基础公 理 3 分 配 律对于任意的逻辑变量A、B、C，有A + ( BC ) = (A + B)(A + C) ；A( B
3、 + C) = AB + AC公 理 4 01 律对于任意逻辑变量A，有 A + 0 = A ； A 1 = A A + 1 = 1 ； A 0 = 0 公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公 理 5 互 补 律对于任意逻辑变量A，存在唯一的，使得第二章 逻辑代数基础2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是：1任何逻辑变量的取值只有两种可能性取值0或取值1。2逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。一、变量第二章 逻辑代数基础二、基本逻辑运算 描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中
4、各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。逻辑代数中定义了“或”、“与” 、“非”三种基本运算。 1“或”运算 如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。 例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。第二章 逻辑代数基础 电路中，开关A和B并联控制灯F。可以看出，当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮。因此，灯F与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。可表示为 并联开关电路ABF例如，下图所示电路。F = A + B或者F = A B，读作“F等于A或B”。第二章 逻辑代数基础假定开关断
5、开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0。A0111100BF01011“或”运算表 F 并联开关电路AB“或”运算的运算法则：0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 1实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。第二章 逻辑代数基础 2“与” 运算如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。 在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。两变量“与”运算关系可表示为F = AB或者F = AB即：若A
6、、B均为1，则F为1；否则，F为0。A0110000BF01011 “与”运算表 第二章 逻辑代数基础ABF 串联开关电路 例如，两个开关串联控制同一个灯。显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则F和A、B之间的关系“与”运算关系。数字系统中，实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。 “与”运算的运算法则:0 0 = 01 0 = 00 1 = 01 1 = 1第二章 逻辑代数基础 3“非” 运算 如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。在逻辑代数
7、中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算符号为“”，有时也用“”表示。“非”运算的逻辑关系可表示为F = 或者 F = A读作“F等于A非”。即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。“非”运算表 AF0101第二章 逻辑代数基础A开关与灯并联电路F例如，下面开关与灯并联的电路中，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。令开关断开用0表示，开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F与开关A的关系即为上表所示“非”运算关系。“非”运算的运算法则：；数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门，有时又称为“反相器”。第二章 逻辑代数基础2.1.2 逻辑逻辑 函数及逻辑逻辑
8、 函数间间的相等 逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点： 1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能 ； 2函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本运算决定的 。 一、逻辑逻辑 函数的定义义第二章 逻辑代数基础图中，F被称为A1，A2，An的逻辑函数，记为F = f( A1，A2，An )逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的。广义的逻辑电路逻辑电路FA1A2An设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，An，输出逻辑变量为F，如下图所示。第二章 逻辑代数基础 逻辑
9、函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。设有两个相同变量的逻辑函数F1=f1(A1,A2,An)F2=f2(A1,A2,An)若对应于逻辑变量 A1 ,A2 , , An的任何一组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记作F1 = F2 。如何判断两个逻辑函数是否相等？通常有两种方法：真值表法，代数法。第二章 逻辑代数基础2.1.3 逻辑逻辑 函数的表示法函数F和变量A、B的关系是： 当变量A和B取值不同时，函数F的值为“1”； 取值相同时，函数F的值为“0”。逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”3种运算符以及括号所构成的式子。例如一、逻辑逻辑 表达式 如何对逻辑
10、功能进行描述？常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。第二章 逻辑代数基础逻辑表达式的简写:1.“非”运算符下可不加括号，如 ， 等。2.“与”运算符一般可省略，如AB可写成AB。高低3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如(AB)+(CD)可写为AB+CD。注意:(A+B)(C+D)不能省略括号,即不能写成A+BC+D！运算优先法则：( )+4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替。第二章 逻辑代数基础二、真值值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相应函数值
11、的表格称为真值表。一个n个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。例如，真值表由两部分组成： 左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制数码顺序给出；右边一栏为逻辑函数值。第二章 逻辑代数基础三、卡诺图诺图 卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图。这种用图形描述逻辑函数的方法，在逻辑函数化简中十分有用，将在后面结合函数化简问题进行详细介绍。描述逻辑逻辑函数的3种方法可用于不同场合。但针对某个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不同描述形式，相互之间可以很方便地进行变换。 第二章 逻辑代数基础2 .2 逻辑逻辑 代数的基本定理和规则规则 常用的组定理：2
12、.2.1 基本定理 定理10+0=01+0=100=010=00+1=11+1=101=011=1 证明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系。如果以1和0代替公理5中的A，则可得到如下推论：第二章 逻辑代数基础证明A+AB = A1+AB 公理4 = A (1+B)公理3 = A (B+1) 公理1 = A1公理4 = A公理4证明A+A = (A+A)1公理4 = (A+A)(A+A)公理5 = A+(AA)公理3 = A+0公理5 =A公理4定理2A + A = A ；A A = A定理3A + A B = A；A ( A +
13、 B ) = A第二章 逻辑代数基础定理4 A+AB = A+B ;A(A+B) = AB证明A+AB = (A+A) (A+B)公理3 = 1(A+B)公理5 = A+B公理4证明令A=X因而 XA = 0 X+A = 1公理5但是 AA = 0 A+A = 1公理5由于X和A都满足公理5，根据公理5的唯一性，得到：A=X由于A=X，所以A=A定理5 = AA第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础定理7AB + A = A ( A + B ) ( A+ ) = A第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础2.2.2 重要规则规则 逻辑代数有3条重要规则规则 。例如，将逻辑
14、等式A(B+C)=AB+AC中的C都用(C+D)代替，该逻辑等式仍然成立，即AB+(C+D)= AB+A(C+D)代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 一、代入规则规则 第二章 逻辑代数基础代入规则的意义：利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作公使用，无需另加证明。注意：使用代入规则时,必须将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。第二章
15、 逻辑代数基础二、反演规则规则 例如，已知函数，根据反演规则可得到若将逻辑逻辑 函数表达式F中所有的“”变变成“+”，“+”变变成“”,“0”变变成“1”,“1”变变成“0”,原变变量变变成反变变量，反变变量变变成原变变量，并保持原函数中的运算顺顺序不变变，则则所得到的新的函数为为原函数F的反函数。即:“” “+”,“0” “1”,原变量 反变量第二章 逻辑代数基础 注意: 使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的优先顺序不变！三、对偶规则如果将逻辑函数表达式F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称
16、为函数F的对偶式，并记作F。例如，例如，已知函数，根据反演规则得到的反函数应该是而不应该是！错误第二章 逻辑代数基础注意:求逻辑表达式的对偶式时，同样要保持原函数的运算顺序不变。 显然，利用对偶规则可以使定理、公式的证明减少一半。 若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F和G也相等。这一规则称为对偶规则。根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。例如，已知AB+ C+BC=AB+ C，根据对偶规则对等式两端的表达式取对偶式，即可得到等式(A+B)( +C)(B+C)=(A+B)( +C)第二章 逻辑代数基础2.2.3 复合逻辑逻辑 实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门等门电路。这些门电路输出和输入之间的逻辑关系可由3种基本运算构成的复合运算来描述，故通常将这种逻辑关系称为复合逻辑，相应的逻辑门则称为复合门。一、与非逻辑与非逻辑是由与、非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函数表示为 逻辑逻辑 功能：只要变变量A、B、C、中有一个为为0，则则函数F为为1；仅仅当变变量A、B、C、全部为为1时时，函数F为为0。实现实现 与非逻辑逻辑
