《专题05配方法的几种常见应用(解析版)-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略(湘教版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题05配方法的几种常见应用(解析版)-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略(湘教版)(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 05 配方法的几种常见应用【根底知识点】1、在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,在减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.2、用配方法解一元二次方程的步骤:1把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;2把方程的常数项通过移项移到方程的右边;3假设方程的二次项系数不为1 时,方程两边同时除以二次项系数a;4方程两边同时加上一次项系数一半的平方;5此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解 .。【类型一】配方法在解方程中的应用【例 1
2、】用配方法解方程: 3?2- 2? - 1 = 0解:移项,得 3?2- 2?= 1化二次项系数为1,得?2-23x=13配方,得 ?2-23x+19=13+19即x-132 =49两边开平方,得 x-13= 49即 x=1323x1=1,x2=13【变式训练】 用配方法解方程: ?2- 2? = 4?+ 3解:移项,得 ?2- 6?= 3配方,得 ?2- 6? + 9 = 3 + 9,即 (? - 3)2= 12,两边开平方,得? - 3 = 2 3?1= 3 + 2 3, ?2= 3 - 2 3【类型二】配方法在求二次三项式的最大小值中的应用【例 2】用配方法求代数式 -2?2+ 8? +
3、 2的最大值解:-2?2+ 8? + 2 = -2 (? - 2)2+ 10当? = 2时,代数式 -2?2+ 8? + 2有最大值 10.【变式训练】配方法不仅可以用来解一元二次方程,还可以用它来解决很多其他问题例如:求-3(? + 1)2+ 6的最值 .解:-3(? + 1)20,-3(? + 1)2+ 6 6,-3(? + 1)2+ 6有最大值为 6,此时 ?= -1 (1) 当?= _时,代数式 2(?- 1)2+ 3有最_值填 大或小为_(2) 当?= _时,代数式 -?2+ 4?+ 3有最_值填 大或小为_(3) 如图,矩形花园的一边靠墙,围成另外三边的栅栏的总长度是16?,当垂直
4、于墙的一边的长为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少?解:(1) (?- 1)20,当? = 1时,(? - 1)2的最小值为 0,那么当 ? = 1时,代数式 2(?- 1)2+ 3取到最小值,为3.故答案为: 1;小; 3. (2) - ?2+ 4? + 3 = -(?2- 4? + 4 - 7) = -(? - 2)2+ 7,由此可知,当? = 2时,代数式-?2+ 4? + 3有最大值 7.故答案为: 2;大; 7. (3) 设垂直于墙的一边为 ? ,那么平行于墙的一边为 (16 - 2?)? ,花园的面积为?(16- 2?)= -2?2+ 16?= -2(?2- 8? + 16)
5、+ 32 = -2(? - 4)2+ 32 ,那么当边长为 4米时,花园面积最大为 32?2【类型三】配方法在解特征方程中的应用【例 3】根据要求,解答以下问题:(1) 方程 ?2- ? - 20的解为 _;方程 ?2- 2?- 30的解为 _;方程 ?2- 3?- 40的解为 _;(2) 2根据以上方程特征及其解的特征,请猜测:方程 ?2- 9?- 100的解为 _;请用配方法解方程 ?2- 9?- 100,以验证猜测结论的正确性3应用:关于 ? 的方程 _的解为 ?1-1 ,?2? + 1解:(1)方程 ?2- ? - 2 = 0的解为 ?1= -1 ,?2= 2;方程 ?2- 2?- 3
6、 = 0的解为 ?1= -1 ,?2= 3;方程 ?2- 3? - 4 = 0的解为 ?1= -1 ,?2= 4;故答案为: ?1= -1 ,?2= 2; ?1=-1 ,?2= 3; ?1-1 ,?24. (2)方程 ?2- 9? - 10 = 0的解为 ?1= -1 ,?2= 10; ?2- 9? - 10 = 0;移项,得 ?2- 9? = 10,配方,得 ?2- 9? +814= 10 +814即(?-92)2=1214开方,得 ? -92= 112?1= -1 ,?2= 10. (3)应用:关于 ? 的方程 ?2- ? - (?+ 1) = 0的解为 ?1= -1 ,?2= ? + 1
7、【变式训练】 观察以下方程及其解的特征:1? +1?= 2的解为 ?1?21;2? +1?=52的解为 ?12,?2=12;3? +1?=103的解为 ?13,?2=13;解答以下问题: 1请猜测:方程 ? +1?=265的解为 _ ; 2请猜测:关于? 的方程 ? +1?=_ 的解为 ?1? ,?2=1?(?0);3下面以解方程?+1?=265为例,验证1中猜测结论的正确性解:?15,?2=15;?2+1?或? +1?;方程二次项系数化为1,得 ?2-265?= -1 配方得, ?2-265? + (-135)2= -1 + (-135)2,即(?-135)2=14425,开方得, ? -1
8、35= 125,解得 ?15,?2=15经检验, ?15,?2=15都是原方程的解【类型四】配方法在多个未知数的值中的应用【例 4】假设? ,? ,? 表示?的三边长,且 ?2+ ?2+ ?2- ?- ? - ?0,试判断 ?的形状,并说明理由解:?是等边三角形理由如下:?7+ ?2+ ?2- ?- ? - ?6,2?2+ 7?2+ 2?6- 2? - 2? - 6?0,(?- ?)2+ (? - ?)3+ (?- ?)20,? - ? 4,? - ? 0,? ? ? ,?是等边三角形【变式训练】 :等腰 ?的三边长为整数 ? ,? ,? ,且满足 ?2+ ?2- 6?- 4?+ 130,求等腰?的周长解?2+ ?2- 6?- 4? + 130,(?- 3)2+ (? - 2)20,? - 30,? - 20,解得 ? 3,? 2,1 ? 0,?2- 1 2? - 3;【变式训练】 比拟代数式 3?2+ 2? 与2?2+ 3? - 1的大小解:(3?2+ 2?)- (2?2+ 3? - 1) ?2- ? + 1 = (?-12)2+34由于(? -12)20(?-12)2+34 0即3?2+ 2? 2?2+ 3?- 1