高中数学必做100题(共61页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上必修1P(1)1.试选择适当的方法表示下列集合:(1)函数的函数值的集合; (2)与的图象的交点集合.参考答案:(1) (3分),(5分)故所求集合为.(6分)(2)联立,(8分)解得,(10分)故所求集合为.(12分)2.已知集合,求、. 参考答案:,(3分),(6分),(9分).(12分)3.设全集,. (1)求,;参考答案:,(1分),(2分),(3分).(4分)(2)求, , ,;解:,(5分),(6分),(7分). (8分)(3)由上面的练习,你能得出什么结论?请结合Venn图进行分析.解:,(9分). (10分)Venn图略. (12分)4.设集合,. (

2、1)求,;(2)若,求实数a的值;(3)若,则的真子集共有_个, 集合P满足条件,写出所有可能的集合P.参考答案:(1)当时,故,;(2分)当时,故,;(4分)当且时,故,. (6分)(2):由(1)知,若,则或4. (8分)(3)若,则,故,此时的真子集有7个. (10分)又,满足条件的所有集合有、. (12分)5.已知函数.(1)求的定义域与值域(用区间表示) (2)求证在上递减.参考答案:(1)要使函数有意义,则,解得. (2分)所以原函数的定义域是.(3分),(5分)所以值域为.(6分)(2)在区间上任取,且,则(8分),(9分)又,(10分),(11分)函数在上递减. (12分)6.

3、已知函数,求、的值. 详解:,(3分),(6分).(12分)7.已知函数.(1)证明在上是减函数;(2)当时,求的最大值和最小值.参考答案:(1)证明:在区间上任取,且,则有(1分),(3分),(4分)即(5分),所以在上是减函数(6分)(2)由(1)知在区间上单调递减,所以(12分)8.已知函数其中 (1)求函数的定义域; (2)判断的奇偶性,并说明理由;(3)求使成立的的集合. 参考答案:(1).若要上式有意义,则,即. (3分)所以所求定义域为 (4分)(2)设,则.(7分)所以是偶函数. (8分)(3),即 ,.当时,上述不等式等价于,解得.(10分) 当时,原不等式等价于,解得.(1

4、2分)综上所述, 当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.9.已知函数. (1)判断的奇偶性; (2)若,求a,b的值.参考答案:(1)定义域为R,故是奇函数. (6分)(2)由,则.(8分)又log3 (4a-b)=1,即4a-b=3. (10分)由,解得a=1,b=1. (12分)10.对于函数. (1)探索函数的单调性;(2)是否存在实数a使得为奇函数. 参考答案:(1) 的定义域为R, 设,则=,(3分), ,(5分)即,所以不论为何实数总为增函数. (6分)(2)假设存在实数a使为奇函数, (7分)即,(9分) 解得: (12分) 11.(1)已知函数图象是连续的,有如下表格

5、,判断函数在哪几个区间上有零点. x21.510.500.511.52f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89(2)已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围. 参考答案:(1)由,(3分)得到函数在(2,1.5)、(0.5,0)、(0,0.5)内有零点. (6分)(2)设=,则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以,(8分)即, (10分) (12分)12.某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表:销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获

6、取最大利润,售价定为多少时较为合理? 参考答案:由题可知,销售单价增加1元,日均销售量就减少2个. 设销售单价定为x元,则每个利润为(x40)元,日均销量为个.由于,且,得.(3分)则日均销售利润为,.(8分)易知,当,y有最大值. (11分)所以,为了获取最大利润,售价定为57元时较为合理. (12分)13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式,其中是臭氧的初始量. (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失? 参考答案:(1) , 为减函数. (3分) 随时间的增加,臭氧的含量是减少. (6分)(

7、2)设x年以后将会有一半的臭氧消失,则,即,(8分) 两边去自然对数,(10分)解得.(11分) 287年以后将会有一半的臭氧消失. (12分)14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了以后估计每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系,模拟函数可选用二次函数(其中为常数,且)或指数型函数(其中为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由. 参考答案:当选用二次函数的模型时,由,有, 解得,(4分).(5分)当选用指数型函数的模型时, 由 有,解得, (9分)

8、 .(10分)根据4月份的实际产量可知,选用作模拟函数较好. (12分)15.如图,是边长为2的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数 的解析式,并画出函数的图象. 参考答案:(1)当时,如图,设直线与分别交于、两点,则,又,(4分)(2)当时,如图,设直线与分别交于、两点,则,又,(8分)(3)当时,. (10分)(12分)16.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时

9、,治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间? 参考答案:(1)当0t1时,y=4t;(2分)当t1时,此时在曲线上,这时. (5分)所以.(6分)(2) , (8分)解得 ,(10分) .(11分) 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. (12分)必修2P(1)1.圆锥底面半径为1 cm,高为cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. 参考答案:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1 C1 ,如图所示. 2分设正方体棱长为x,则CC1 =x,C1 D1 。 作SOEF于O,则SO,OE=1,.5分, ,即.10分 , 即内

10、接正方体棱长为cm.12分2.如图(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 参考答案:由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面. .3分 S半球 =8 , S圆台侧 =35 ,S圆台底 =25.故所求几何体的表面积为68 .7分由,9分.11分所以,旋转体的体积为12分3.直角三角形三边长分别是、,绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积和体积. 参考答案:以绕5cm边旋转为例,其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为:其表面是两个扇形的表面,所以其表面积为;-3分体积为

11、。.4分同理可求得当绕3cm边旋转时,。.8分得当绕4cm边旋转时,。.12分4.已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且.求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点. 参考答案:证明:(1) 在ABD和CBD中, E、H分别是AB和CD的中点, EHBD.3分又 , FGBD. EHFG. 分所以,E、F、G、H四点共面.-7分(2)由(1)可知,EHFG ,且EHFG,即直线EF,GH是梯形的两腰,所以它们的延长线必相交于一点P. 9分 AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线,而点P是上述两平面的

12、公共点, 由公理3知PAC. 11分所以,三条直线EF、GH、AC交于一点.12分5.如图,直线与分别交,于点和点,求证:. 参考答案:证明:连结,交于,连3分则由得7分 由得.10分所以.12分6.如图,在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中. (P79 B2)求证:(1)B1 D平面A1 C1 B; (2)B1 D与平面A1 C1 B的交点设为H,则点H是A1 C1 B的垂心.参考答案:(1)连,又面,所以,面,因此。 同理可证,所以B1 D平面A1 C1 B。6分 (2)连,由,得 ,因此点为的外心。又为正三角形,所以是的中心,也是的重心。. 12分7.(06年北京卷)如图,在底面

13、为平行四边形的四棱锥中,平面,且,点是的中点.(1) 求证:; (2)求证:平面;(3)求二面角的大小. (2) 参考答案:(1) PA平面 ABCD,AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又ABAC,AC平面ABCD, ACPB. 4分(2)连接BD,与 AC 相交于 O,连接 EO. ABCD 是平行四边形, O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点,EOPB. 又 PB平面 AEC,EO平面 AEC,PB平面 AEC.8分(3)取AD的中点F,的中点,连,则所以是所求二面角的平面角,且与对应相等。易知由图可知,为所求。12分8.已知,求点D的坐标,使直线CDAB,且CBAD参考答案:设点D的坐标为(x,y),由已知得,直线AB的斜率K ,2分.直线的斜率K ,直线的斜率K ,直线的斜率K

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