《实数连续性循环证明及相互证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实数连续性循环证明及相互证明（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实数连续性循环证明及相互证明 实数连续性循环证明及相互证明 关于实数连续性的基本定理 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都 唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。 确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列xn单调上升有上界，则xn必有极限。 区间套定理:设an, bn是一个区间套,则必存在唯一的实数 r,使得r包含在全部的区间里,即 r an,bn。 n 1 有限掩盖定理:实数闭区间a,b的任一掩盖E,必存在有限的子掩盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理
2、：在实数系中，数列xn有极限存在的充分必要条件是： 0, N,当n N,m N时，有|xn xm| 。 这些定理虽然动身的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一用实数基本定理证明其它定理 1实数基本定理单调有界定理 证明：设数列xn单调上升有上界。令B是数列xn全体上界组成的集合，即B=b|xn b, n, 而A=RB，则A|B是实数的一个分划。事实上，由单调上升xn，故x1-1 A，即A不空，由A=RB
3、，知A、B不漏。又对任给a A，b B，则存在n0，使a xn0 b，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分 有a r b。 划。依据实数基本定理， r R,使得对 a A，b B，下证lim n xn=r。事实上，对 0,由于r A，知 N，使r xn，又xn单调上升， 当n N时，有r xN xn。 r 2 b,便有xn r ， 当n N时，有r xn r 2 2 于是，|xn-r| limxn=r。 ， n 实数连续性循环证明及相互证明 若数列xn单调下降有下界，令 yn=-xn，则yn单调上升有上界，从而有极限，设极限为r，则 n limxn=lim（-yn）=-r。定理证完。 n 2.
4、实数基本定理 确界定理 证明：设X是有上界的非空实数集，记B为X的全体上界组成的集合。A= RB，则A|B构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏明显。而对 a A，b B，由a不是X的上界，知有x0 X，使得x0而由b B，知x0 a， b，故a b。 x0 r 2 由实数基本定理， A|B是实数的一个分划， r R,使得对 a A，b B，有a r b。 下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反证法。假如不然，则有x0 X，使得x0a= r，这时有a= x0 r A，且有a r，这是不行能的。因此r是X的上界，而由于 b B，2 有r b， r是X的最小上界。 同理可证下确界的情形。定理
5、证完。 3实数基本定理 区间套定理 证明：设an, bn是一个区间套，令A x| n,x an，B RA，则A|B是R的一个分划。事 实上a1 A，b1 1 B，即A,B非空；由B的定义，A,B不漏； a A， b B，则 ， n,b an，故a b，即A,B不乱。故A|B确是R的一个分划。由实数连续性定理，存在唯一的实数r，使得 a A， b B，有a r b。 下证r a由于 n，由A的定义， a,b。 n n n 1 n A，故an r。又 n,m，有am bn，则bn B， 从而r bn。即r an,bn。 n 1 最终证明唯一性。若有r,r 满意r an,bn，r n 1 a n 1
6、 n ,bn，则 |r r | bn an 0(n ) 故r r 。即这样的r是唯一的。定理证完。 二用单调有界定理证明其它定理 1 单调有界定理实数基本定理 证明：给定实数的一个分划，任取a1 A，b1 B。用a1，b1的中点a1 b1二等分a1，b1，假如 2a1 b1 B，则取a=a， b=a1 b1；假如a1 b1 A，则取a=a1 b1，b=b； 如 221122 2222 此连续下去，便得两串序列anbn。其中an A单调上升有上界（例如b1），bn B单调下降有下界 实数连续性循环证明及相互证明 （例如a1）并且bn an=b1 a1(n )。由单调有界定理，知 r，使liman
7、= r n 2 n lim（bn an）=0 liman+（bn an）= r n a A，有a bn（n=1，2， ），令n ，知a r b B，有an ， 令n ，知 r b a r b b（n=1，2， ） 下面证明唯一性。 用反证法。假如不然。则 r1 r2，同时对任意 a A，a r1，a r2 对任意b 有b r1 b r2，不妨设r1 r2， 令 r r1 r2明显 r1 r r2 r A，r B， 2这与A|B是R的一个分划冲突。 唯一性得证。定理证完。 2单调有界定理确界定理 证明：已知实数集A非空。 a A，不妨设a不是A的上界，另外，知 b是A的上界，记a1=a， b1=
8、b，用a1，b1的中点a1 b1二等分a1，b1，假如a1 b1 B，则取a2=a1， b2=a1 b1； 222假如a1 b1 A，则取a2=a1 b1，b2=b1； 如此连续下去，便得两串序列anbn。其中an A 22单调上升有上界（例如b1），bn B单调下降有下界（例如a1）并且bn an=b1 a1(n )。由 2单调有界定理，知 r，使liman= r。由lim（bn an）=0 有liman+（bn an）= r n n n ， bn是A的上界， x A，有x bn（n=1，2， ）令n ，x limbn= r r是A的上界。 n 而 0, 由liman= r知 0,知 N，当
9、n N，有r an， n 从而 X A，使r an X， r=supA。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。 3单调有界定理 区间套定理 证明：已知an ， an bn b1， 由单调有界定理知an存在极限，设liman= r， an 1（ n） n 同理可知bn存在极限，设limbn=r ，由lim（bn an）=0得r r =0即r r n n n，有an bn，令n ，有an r r bn， n，有an r bn。 唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。 实数连续性循环证明及相互证明 三用确界定理证明其它定理 1 确界定理实数基本定理 证明：对给定R
10、的一个分划A|B，由于 b B，b是集合A的上界，由确界定理可得，集合A有上确界r，即 a A有a r。 r是集合A的上确界， r是集合A的全体上界的最小数。 b B，有r b。 唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。 2 确界定理单调有界定理 证明：设xn是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得， r ，使r=supxn。 n,有xn r，并且 0， xN，有xN r n N,有r xN xn r，即|xn r| lim n xn= r。 单调下降有下界状况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。定理证完。 3 确界定理区间套定理 证明：由an 1，bn
11、 1 an，bn，知an是单调上升有上界的实数列，bn是单调下降有下界的数列。且b1是an的上界，a1是bn的下界。设liman= r，limbn=r ，由确界定理对的证明知 n n r=supan，r =infbn。由lim（bn an）=0得r r =0即r r = supan=infbn n n，有an r bn。 唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。 4 确界定理有限掩盖定理 证明：设E是闭区间a，b的一个掩盖。 定义数集A=x a|区间a，x在E中存在有限子掩盖 从区间的左端点x a开头 .由于在E中有一个开区间掩盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A
12、中. 这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若x A,则整个区间a，x A. 若A无上界,则b A,那么a，b在E中存在有限子掩盖. 若A有上界, 由确界定理可得 r,使r=supA。 x r，都有x A。事实上， (r x) 0, y,使得y r (r x) x。 a，y在E中存在有限子掩盖， a，x a，y在E中存在有限子掩盖 下证b r。用反证法。假如不然，r b，则r a，b。因此，在E中存在有一开区间掩盖E 掩盖r。 a0，b0 E ，使a0 r b0。 由上面论证知a0 A，也即区间a，a0在E中存在有限子掩盖，向这个有限子掩盖再加上开区间E ， 实数连续性循环证明及相互证
13、明 即成为a，b的掩盖。 5确界定理紧致性定理 b0 A，与r=supA冲突。定理证完。 证明：设数列xn是有界数列。定义数集A=x|xn中大于x的点有无穷多个 xn有界 A有上界且非空。由确界定理可得 r,使r=supA。 则 0，有r 不是A的上界。 xn中大于r 的项有无穷多个。 r 是A的上界 xn中大于r 的项只有有限个。 在（r ，r ）中有xn的无穷多项，即 对 1， n1，使xn 1 ，即|xn （r 1，r 1） 使xn n N， 0, n，-r| 1 （r ，r ） 1 取 1， n2 n1，有|xn-r| 1， 如此连续下去， 2 2 2 取 1， nk nk 1，有|xn-r| 1，由此
