2021年高考备考精品数学解题能力快速提升

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1、高考备考精品：数学解题能力快速提升一不等式解题方法一、从与的大小说起【引例】正实数中，对任意a，b， m，都有这就是 “ 分数的基本性质” ：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变. 这，连小学生都知道. 但， 我们的话题却要从这儿开始. 【问题】对以上 “ 性质 ” ，如果将冒号后的文字改变一个字，将“ 乘 ” 改成 “ 加 ” ，即变成这里的等号还能成立吗？请看下例. 【例 1】若 ba0， m0，则有A. B. C. D.【解答】（淘汰法）令a=1，b=2，m=3 淘汰 B，C，D，答案为A. 【例 2】（变例 1 为解答题）若ba0，m0，试比较和的大小 . 【解 1】 （比较法作差

2、 变形 判定符号）因为【解 2】 （综合法由因推果由整式推出分式）abmambab+amab+bma(b+m )b(a+m )【说明】因果关系，步步清楚，只是在第三步时，对ab 的无中生有，不易想到. 【解 3】 （分析法由果索因由分式化为整式）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - -欲使只须 a(b+m )b(a+m )只须 ambm只须 a）【说明】a 放大为 b，则缩小为，结果是分值缩小. 将缩成，目标是 “ 约” 去 m. 【解 5】 （放缩法从左到右）（ a0，m0，求证【法

3、1】 （等式法不等式变为方程）设得即 x0，故有. 【说明】这种等式法实为比较法的一种变式. 即作差法的另种形式. 【法 2】 （等式法未知数论设作因子）设则所以【说明】这种等式法为比较法的另一种形式. 即作商法的另种形式. 【法 3】 （函数法视 m 为 x，）设有函数函数在 0，m上是减函数，故是 0，m上的增函数.（图右，其中a=1，b=2）f（0）0）是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - -（0，+）上的减函数. 【法 4】 （不等式法把证不等式化为解不等式）解不等式即 x=m

4、 为正数时，原不等式真. 【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证 a2-a+10，即 x2-x+10 的解为 R，视参数为变量 . 解出的参数值域符合题设的取值范围即可. 【法 5】 （极限法把参数 m 作极端处理） &nbs,p; 当 m0 时，当 m时，故有【说明】对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数f (m)=的单调性并没讲清楚，没有交待f(m)是上的增函数 . 如果是确定性的选择题例1，即与的大小关系是确定的，不需要讨论m 的范围时，则这种极限法是很简便的. 【小结】真分数的 放大性 ：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大. 以这种 放大性 为基础，可

5、推出许多重要的分式不等式，如（1）|a+b| |a|+|b|（2）数列 an=是增数列；而数bn=是减数列 . 【练习】1.正数中，再证.分别用函数法、方法程和解不等式法. 2.用不同的方法证明. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - -3.用不同的方法证明. 三、千方百法会战高考不等式【考题 1】 （2006 年赣卷第5 题）对于 R 上可导的任意函数f（x） ，若满足（ x 1）f （x）3 0，则必有（）A f（0） f（2） 2f（1）【分析】从已知条件（x-1）f (x) 0出

6、发，可得如下的不等式组或. 因此 f(x) 有两种可能： 其一， f (x) 为常数； 其二， f(x) 在区间上为减函数，在上为增函数 . 【解答】（综合法）依题意，当x31 时， f （x）3 0，函数 f（x）在 1， ￥ 上是增函数；当 x0，函数 f(x)=ax-bx2. （）当b0 时，若对任意xR 都有 f(x) 1，证明 a；（）当b1 时，证明：对任意x 0,1 ，|f(x)|1的充要条件是b-1a；（）当00，b0， a. 【解】先证必要性：对任意 x 0,1 ，|f (x)|1-1f(x)，据此可以推出-1f (1)，即 a-b -1， ab-1；精品学习资料 可选择p

7、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - -对任意 x 0,1 ，|f (x)|1f (x)1，因为 b1，可以推出1 ，即a-11 ， a； b-1a. 再证充分性：因为b1，ab-1，对任意x 0,1 ，可以推出ax-bx2b(x-x2)-x -x -1. 即ax-bx21 ；因为 b1，a，对任意x 0,1 ，可以推出ax-bx21 ，即 ax-bx21.-1f(x) 1.综上，当b1 时，对任意x 0,1 ，|f(x)|1的充要条件是b-1a. 【解】因为a0，00，0N 时，对任意b0，都有【分析】本题的

8、第（） 、 （） 、 （）小题之间成梯式结构，（）是（）和（）的基础 .从策略上看， 如在（） 上遇着困难， 可承认 （） 的结论， 并利用它迅速地解出（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - -和（）来 .此题恰恰是第（）难，而（）、 （）容易 . 对于（），已知为两个不等式，而求证一个不等式.其基本思路是，对已知不等式用综合法 下推 ，对求证不等式用分析法 上追 . 如：欲使只须=此时， 综合下推 的方向就清楚了. 【解】当 n2 时，即，于是有， ，所有不等式两边相加可得由已知不等

9、式知，当n3时有，【解】又 an0. 故有=0. 【解】（放大为了化简）令，则有，故取 N=1024 ，可使当nN 时，都有【说明】本小题是条件不等式的证明，已知2 个不等式，求证1 个不等式 .在分析 综合精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - 放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么，需要的东西如何从已知的不等式中得到. 【练习】对考题 3，已知条件不变，对设问作如下改写（）设，利用数学归纳法证不等式（）利用上述结果，证明不等式二函数最值的求解方法一

10、、二次函数最值寻根初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的. 设 a0，f(x)=ax2+bx+c=初三学生已知， 二次函数f(x)，在 a0 时，有最小值；a0，探索二次函数y = ax2+bx+c 的单调区间 .并指出函数的最值点. 【解答】任取 x10 ) 有减区间和增区间. 显然，二次函数的最值点为，函数有最小值. 【评说】从这里看到，二次函数的最点，就是两个 异性 单调区间的交接点. 【练 1】 试研究一次函数没有最点，从而没有最值. 【解】任取，则有（1）时，函数在R 上为增函数 . 时，;时，. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

11、 - 第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）时，函数在R 上为减函数 . 时，;时，. 所以，一次函数在R 上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值） . 【说明】一次函数定义在R 上，定义域内找不到这样的 点 ，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间 .本例从反面看到：最点是单调区间的 变性 的 转折点 .二、从到高中生将 最点 变形为，并由此得到一个一次函数. 精明的学生发现， 这个一次函数与对应的二次函数有某种 关系 ，甚至有学生在偷偷地利用这种 关系 .这种 关系 到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即. 函数求 最根 的问题，正好是的导函

12、数的 求根 问题. 导函数的根，就是的驻点 .很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点. 问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根 .俗说中 最根 ，真的与 根 字巧合了. 【例 2】 设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右） . 试说明的正负性与单调性的对应关系. 【解析】与相交于. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - -（1）时，,递减；（2）时，,递增；（3）时，,得到最小值 . 故对应关系为：（1）负区与的减区对应；（2）正区与的增区对应；（3）零点与的最值对应 . 【练

13、2】 已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有（1）=（），增区间为（），减区间为（）；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）的最（）值为（）；（3）若，求的解析式 . 【解答】从右图上看到（1）的根为，故有=1；（2）时，0，故的增区间为；时，0，函数递增；（2）时，0，函数递增 . 故在有极大值，在上有极小值. 故，是的 2 个极点，前者为极大点，后者为极小点. 又时，故函数既无最大值，也无最小值 .从而无最点 . 【说明】这是三次函数有2 个驻点，且都为极点的例子.而三

14、次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3） . 【练 3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.（1）（2）【解析】 （1）,函数无驻点， 无极点， 无最点 . 是上的增函数 . （2）,有 2 个重合的驻点. （1）当时，函数递增，（2）当时，函数也递增 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - -因此，驻点不能分出两个 相异 的单调区间， 故不是的极点，无极点，当然也无最点 . 是 R 上的增函数 . 【说明】函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了 中间

15、的一个 相异 的单调区间后，将两边的 同性 的单调区进行了链接而成为一个单调区间 . 经过以上的讨论得知，定义在R 上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。四、极点何时为最点不重合的2 个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？我们研究，极点何时成为最点. 【例 4】 已知的导函数，试探究的极点和最点. 【解析】. 有 3 个相异的根：它们都是的极点 . 易知原函数（R）易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间 . 的 4 个单调区间依次成 减 增 减 增 的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从

16、而使得在 两次探底 中得到最（小）点. 比较三个极值的大小：得的最小值为，对应两个最小点和 1. 【说明】定义在一个开区间上的可导函数如果有 n 个极点： x1x2 xn. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - -当 n 为奇数时，有最点存在 .最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大小可得 . 当 n 为偶数时，函数无最点. 【练 4】 求函数的最值 . 【解析】函数是定义在一个开区间上的可导函数, 令得的唯一驻点即为最点 . 时，函数递增 , 时，函数递减 , 故有最大值. 【说明】本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便. ,等号成立条件是. 五、最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根. （3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 【例 5】