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1、- 1 - 高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围:18002.斜率:直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.t ank(1).倾斜角为90的直线没有斜率。(2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。(3)设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k,则当21xx时,2121tanxxyyk;当21xx时,o90;斜率不
2、存在;二、直线的方程1.点斜式:已知直线上一点P( x0,y0)及直线的斜率k(倾斜角 )求直线的方程用点斜式:y-y0=k(x-x0) 注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0 xx;2.斜截式:若已知直线在y轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b,斜率为k,则直线方程:bkxy;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kxy注意:正确理解“截距 ”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。3.两点式:若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点,且(2121,yyxx则直线的方程:121121xxxxyyyy;注意:不能表示与x轴和y轴垂直的直线;当
3、两点式方程写成如下形式0)()(112112xxyyyyxx时, 方程可以适应在于任何一条直线。4 截距式:若已知直线在x轴,y轴上的截距分别是a,b(0, 0 ba)则直线方程:1byax;精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - 2 - 注意: 1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式: 任何一条直线方程均可写成一般式:0CByAx; (BA
4、,不同时为零) ;反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意:直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数CBA,是否为 0 才能确定。指出此时直线的方向向量:),(AB,),(AB,2222,BAABAB(单位向量);直线的法向量:),(BA; (与直线垂直的向量)6(选修 4-4)参数式btyyatxx00(t参数)其中方向向量为),(ba,单位向量2222,babbaa;abk;22|batPPo;点21,PP对应的参数为21,tt,则222121|battPP;sincos00tyytxx(t为参数)其中方向向量为)sin,(cos,t
5、的几何意义为|oPP;斜率为tan;倾斜角为)0(。三、两条直线的位置关系位置关系222111:bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk,且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0) 重合21kk,且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为:222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl;当21kk或精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 16 页 - - - - -
6、 - - - - 3 - 1221BABA时它们相交, 交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解;注意: 对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如:),(),(2211BABA对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如0),(),(2211BABA若两直线的斜率都不存在,则两直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0 ,则两直线垂直。对于02121BBAA来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用起来更方便斜率相等时,两直线平行( 或重合 );但两直线平行( 或重合 ) 时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。四
7、、两直线的交角(1)1l到2l的角:把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角;它是有向角,其范围是0;注意:1l到2l的角与2l到1l的角是不一样的;旋转的方向是逆时针方向;绕“定点”是指两直线的交点。(2)直线1l与2l的夹角:是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角( 或不大于直角的角) ,它的取值范围是20;(3)设两直线方程分别为:222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl若为1l到2l的角 ,12121tankkkk或21211221tanBBAABABA;若为1l和2l的夹角 ,则12121tankkkk或21211221tanBB
8、AABABA;当0121kk或02121BBAA时,o90;注意:上述与k有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。直线1l到2l的角与1l和2l的夹角:)2(或)2(;五、点到直线的距离公式:精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - 4 - 1. 点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为:2200|BACByAxd;2. 两平行线0:11CByAxl,0:22CByAxl的距离为:2221|BACCd;六、直线系:(
9、1)设直线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl,经过21,ll的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA(除去2l) ;如:011kxykxy,即也就是过01y与0 x的交点)1 ,0(除去0 x的直线方程。直线5)12()1(:mymxml恒过一个定点。注意:推广到过曲线0),(1yxf与0),(2yxf的交点的方程为:0)()(21xfxf;(2)与0:CByAxl平行的直线为01CByAx;(3)与0:CByAxl垂直的直线为01CAyBx;七、对称问题:(1)中心对称:点关于点的对称:该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点),(baA关于),(dcC
10、的对称点)2,2(bdac直线关于点的对称:、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程;、求出一个对称点,在利用21/ ll由点斜式得出直线方程;、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如:求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1 (P对称的直线2l的方程。(2)轴对称:点关于直线对称:、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。如:求点)5 ,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。精品学习资料 可选择p d f -
11、- - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - 5 - 直线关于直线对称: (设ba,关于l对称)、若ba,相交,则a到l的角等于b到l的角;若la /,则lb /,且ba,与l的距离相等。、求出a上两个点BA,关于l的对称点,在由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点,则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如:求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。八、简单的线性规划:(1)设点),(00yxP和直线0:CByAxl, 若 点P在 直 线l上 , 则000CByAx; 若 点P在
12、 直 线l的 上 方 , 则0)(00CByAxB;若点P在直线l的下方,则0)(00CByAxB;(2)二元一次不等式表示平面区域:对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx,当0B时,则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域;0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域;当0B时,则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域;0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域;注意:通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中,根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的
13、解),(yx叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:当0B时,将直线0ByAx向上平移,则ByAxz的值越来越大;直线0ByAx向下平移,则ByAxz的值越来越小;精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - 6 - 当0B时,将直线0ByAx向上平移,则ByAxz的值越来越小;直线0ByAx向下平移,则ByAxz的值越来越大;如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个,则a为
14、;第二部分:圆与方程2.1 圆的标准方程:222)()(rbyax圆心),(baC,半径r特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:222ryx. 2.2 点与圆的位置关系:1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r :(1)点在圆上d=r ;(2)点在圆外dr ;(3)点在圆内dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M 在圆 C 内22020)()(rbyax M 在圆 C 上22020)()rbyax( M 在圆 C 外22020)()(rbyax2.3 圆的一般方程:022FEyDxyx. 当0422FED时,方程表示一个圆,其中圆心2,2EDC,半径2422F
15、EDr. 当0422FED时,方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时,方程无图形(称虚圆). 注:( 1)方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是:0B且0CA且0422AFED. 圆的直径系方程:已知AB是圆的直径0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4 直线与圆的位置关系:直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种, d 是圆心到直线的距离,(22BACBbAad(1)0相离rd;(2)0相切rd; (3)0相交rd。2.5 两圆的位置关系x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 精品学习资料 可选择p d
16、f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - 7 - 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,dOO21。(1)条公切线外离421rrd; (2)条公切线外切321rrd;(3)条公切线相交22121rrdrr; (4)条公切线内切121rrd;(5)无公切线内含210rrd;外离外切相交内切内含2.6 圆的切线方程:1.直线与圆相切:(1)圆心到直线距离等于半径r; (2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数)2.圆222ryx的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是rkkxy21过 圆022FEyDxyx上 一 点),(00yxP的切线方程为:0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地,过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy,联立求出k切线方程 . 2.7圆的弦长