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1、- 1 - 高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围：18002.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.t ank（1）.倾斜角为90的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。（3）设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k，则当21xx时，2121tanxxyyk；当21xx时，o90；斜率不
2、存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（ x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx；2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：bkxy；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kxy注意：正确理解“截距 ”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点，且（2121,yyxx则直线的方程：121121xxxxyyyy；注意：不能表示与x轴和y轴垂直的直线；当
3、两点式方程写成如下形式0)()(112112xxyyyyxx时， 方程可以适应在于任何一条直线。4 截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（0, 0 ba）则直线方程：1byax；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 - 注意： 1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式： 任何一条直线方程均可写成一般式：0CByAx； （BA
4、,不同时为零） ；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数CBA,是否为 0 才能确定。指出此时直线的方向向量：),(AB，),(AB，2222,BAABAB（单位向量）；直线的法向量：),(BA； （与直线垂直的向量）6(选修 4-4)参数式btyyatxx00（t参数）其中方向向量为),(ba，单位向量2222,babbaa；abk；22|batPPo；点21,PP对应的参数为21,tt，则222121|battPP；sincos00tyytxx（t为参数）其中方向向量为)sin,(cos，t
5、的几何意义为|oPP；斜率为tan；倾斜角为)0(。三、两条直线的位置关系位置关系222111:bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk，且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0) 重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - -
6、 - - - - 3 - 1221BABA时它们相交， 交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；注意： 对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211BABA对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211BABA若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。对于02121BBAA来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便斜率相等时，两直线平行( 或重合 )；但两直线平行( 或重合 ) 时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四
7、、两直线的交角（1）1l到2l的角：把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角；它是有向角，其范围是0；注意：1l到2l的角与2l到1l的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线1l与2l的夹角：是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角( 或不大于直角的角) ，它的取值范围是20；（3）设两直线方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl若为1l到2l的角 ，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；若为1l和2l的夹角 ，则12121tankkkk或21211221tanBB
8、AABABA；当0121kk或02121BBAA时，o90；注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(或)2(；五、点到直线的距离公式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 - 1. 点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200|BACByAxd；2. 两平行线0:11CByAxl，0:22CByAxl的距离为：2221|BACCd；六、直线系：（
9、1）设直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，经过21,ll的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去2l） ；如：011kxykxy，即也就是过01y与0 x的交点)1 ,0(除去0 x的直线方程。直线5)12()1(:mymxml恒过一个定点。注意：推广到过曲线0),(1yxf与0),(2yxf的交点的方程为：0)()(21xfxf；（2）与0:CByAxl平行的直线为01CByAx；（3）与0:CByAxl垂直的直线为01CAyBx；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC
10、的对称点)2,2(bdac直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用21/ ll由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1 (P对称的直线2l的方程。（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5 ,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。精品学习资料 可选择p d f -
11、- - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5 - 直线关于直线对称： （设ba,关于l对称）、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la /，则lb /，且ba,与l的距离相等。、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。八、简单的线性规划：（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl， 若 点P在 直 线l上 ， 则000CByAx； 若 点P在
12、 直 线l的 上 方 ， 则0)(00CByAxB；若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的
13、解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 - 当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为
14、；第二部分：圆与方程2.1 圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r ；(2)点在圆外dr ；(3)点在圆内dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M 在圆 C 内22020)()(rbyax M 在圆 C 上22020)()rbyax（ M 在圆 C 外22020)()(rbyax2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx. 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422F
15、EDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：（ 1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径系方程：已知AB是圆的直径0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种， d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad(1)0相离rd；(2)0相切rd； （3）0相交rd。2.5 两圆的位置关系x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 精品学习资料 可选择p d
16、f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 - 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd； （2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr； （4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含2.6 圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r； （2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆222ryx的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是rkkxy21过 圆022FEyDxyx上 一 点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 . 2.7圆的弦长
