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1、莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。設 ABC 中的 B, C 的两条三等分角线分別交于 P, D 两个点（图 1），按照莫利定理，D 是莫莱三角形的一個頂点，当然 D 就是 BPC 的內心，因為BD, CD 正好是 CBP, BCP 的角平分线。莫利三角形的另两个頂点E, F 应该分別落在CP和 BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到 E, F 这两个点，使 DEF是个正三角形，再证AE 、AF正好是 BAC的三等分线就行了为此，先把DP连起來，在CP, BP 上分別取两点E, F 使 EDP FDP 30, 于是就得到一
2、个三角形DEF 。为什么它是一个正三角形呢？因为D是 BPC的內心，所以DP是 BPC 的角平分线，即DPE DPF ，由作图知 EDP FDP 30,在 DPE和 DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以 DPE DPF 。于是 DE DF,即 DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和 DF，而它的頂角又是60，所以它当然是个正三角形。接下來，我们的目标就是希望能证明DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 的确会三等分 BAC 。如图 2 所示，在 AB, AC 上各取一点G,H,使得 BG BD, CHCD ，把 G 、 F、E、H各点依次连起來，根据 BFD BFG ，
3、CED CEH ，我们就得到GF FD FEED EH 。下面，如果能夠证明G,F,E,H ，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为GAF,FAE,EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH 都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。为了证明 G,H,E,F ，A共圓，必须证明FGE FHE A/3 。看图 2，首先我们注意到GFE 是个等腰三角形，GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角FGE也就能求出来了。PFE也是一个等腰三角形，这是因为PDF PDE ，（ PD是公用边， DPF DPE ， PDF PDE30），所以 PF=PE 。等腰三角形 PFE的顶角大小为：FPE= -2/
4、3 （ ABC+ ACB ）=-2/3 （- BAC ）=/3+2/3 BAC （1）BFD= PDF+ DPF= /6+1/2 FPE= /6+/6+1/3 BAC= /3+1/3 BAC （2）GFE=2 - EFD-2BFD=2 - /3-2 /3-2 BAC/3=-2/3 BAC （3）最后得到： FGE= FEG=1/2(- GFE)=1/3BAC （4）同理可证： FHE= HFE=1/3BAC （5）至此可知 G,H,E,F ，A五点共圓。因 GF=FE=EH ，所以 GAF= FAE= EAH=1/3BAC （ 6）即 AE和 AF恰好是 BAC的三等分线，所以DEF是莫利三角
5、形。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -蝴蝶定理：AB 是圆的一条弦，中点记为S，圆心为 O，过 S 作任意两条弦CD、EF，分别交圆于 C、D、E、F，连接 CF,ED 分别交 AB 于点 M、N，求证： MS=NS 。证明（一）过 O 作 OLAD，OTCF，垂足为 L、T，连接 ON，OM ，OS，SL，ST 容易证明 ESD CSF 所以 ES/CS ED/FC 根据垂径定理得：LDED/2 ，FTFC/2 所以 ES/CS EL/CT 又因为 E C 所以 ESL CST 所
6、以 SLN STM 因为 S 是 AB 的中点所以 OSAB 所以 OSN OSN 90 所以 OSN+ OSN 180所以 O，S，N，L 四点共圆同理 O，T，M，S 四点共圆所以 STM SOM ，SLN SON 所以 SON SOM ，因为 OSAB 所以 MSNS 证明（二）从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和作垂线，设垂足分别为和。现在，由于从这些等式，可以很容易看出：由于PM=MQ 现在，因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - -
7、-清宫定理：设P、Q 为 ABC 的外接圆上异于A、 B、C 的两点，P 关于三边BC、 CA 、AB 的对称点分别是U、V、W ，且 QU 、QV 、QW 分别交三边BC 、CA、AB 或其延长线于D、E、F，则 D 、E、 F 在同一直线上证明设 P、Q 为 ABC 的外接圆上异于A、 B、 C 的两点，P 关于三边BC 、 CA 、AB 的对称点分别是U、 V、 W ，且 QU 、 QV 、 QW 分别交三边BC 、 CA 、 AB 或其延长线于D、 E、 F 这时， P、Q 两点和D、 F、 E、三点有如下关系：将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P 点出发的光线照到D 点经过BC
8、反射以后通过Q 点，从P 点出发的光线照到E 点经AC 的延长线反射后通过Q 点，从 P 点出发的光线照到F 点后通过Q 点从而，如果P、 Q 两点重合，则D、 E、 F 三点成为从P（即 Q）点向BC ， CA ，AB 或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是，如果P、 Q 两点重合，清宫定理就成为西摩松定理。我们决定将证明清宫定理的方针确定如下：因为D、 E、 F 三点中，有两点在ABC 的边上，其余一点在边的延长线上，如证明（BD/DC ） （CE/EA ） （ AF/FB ） =1，则根据梅涅劳斯定理的逆定理，就可证明DEF 三点在同一直线上。首先， A、 B、 P、 C 四点在同一圆周
9、上，因此 PCE= ABP 但是，点P 和 V 关于 CA 对称所以 PCV=2 PCE 又因为P 和关于AB 对称，所以PBW=2 ABP 从这三个式子，有 PCV= PBW 另一方面，因为PCQ 和 PBQ 都是弦PQ 所对的圆周角，所以PCQ= PBQ 两式相加，有 PCV+ PCQ= PBW+ PBQ 即 QCV= QBW 即 QCV 和 QBW 有一个顶角相等，因此S（ QCV ） /S（ QBW ）=（ CV CQ） /（ BW BQ ）但是 CV=CP ， BW=BP ，所以S（ QCV ）/S（ QBW ）=（ CP CQ ）/（ BP BQ ）同理 S（ QAW ） /（ Q
10、CU ） =（ AP AQ ） /（ CP CQ）S（ QBU ） /S（ QAV ） =（ BP BQ） /（ AP AQ ）于是（BD/DC ） （ CE/EA ） （ AF/FB ）=S （ QBU ） /S（ QCU ） S（ QCV ） /S（ QAV ） S（ QAW ） /S（ QBW ） =S （ QBU ） /S（ QAV ） S （ QCV ） /S（ QBW ） S（ QAW ） /S（ QCU ） = （ BP BQ)/ （ AP AQ） （ CP CQ)/ （ BP BQ ） （AP AQ)/ （ CP CQ） =1 根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、 E、 F 三点在同
11、一直线上精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。证明四边形 ABCD,AB CD=E,AD BC=F,BD中点 M,AC中点 L,EF 中点 N 牛顿定理1 取 BE 中点 P,BC 中点 R,PN CE=QR,L,Q 共线QL/LR=EA/AB M,R,P 共线RM/MP=CD/DE N,P,Q 共线PN/NQ=BF/FC 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=
12、EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共证毕故牛顿定理1 成立精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明：设四边形ABCD是 I 的外切四边形，E 和 F 分别是它的对角线AC 和 BD 的中点，连接EI 只需证它过点F，即只需证BEI 与 DEI 面积相等。牛顿定理2 图显然， SBEI=-S BIC+S CEI+S BCE ，
13、而S DEI=-S ADE+S AIE+S AID。注意两个式子，由 ABCD外切于I ， AB+CD=AD+BC ， S BIC+S AID=1/2*S四边形ABCD ，SADE+S BCE=1/2*S ACD+1/2*S ABC=1/2*S 四边形ABCD 即 S BIC+S AID=S ADE+S BCE ，移项得S BIC-S BCE=S ADE-S AID，由 E 是AC 中点， S CEI=S AEI ，故S BIC-S CEI-S BCE=S ADE-S AIE-S AID，即S BEI= DEI，而 F 是 BD中点，由共边比例定理EI 过点 F 即 EF过点 I ，故结论成立
14、。证毕。（共边比例定理：平行四边形ABCD （不一定是凸四边形），设 AC,BD相交于E 则有BE/DE=S ABC/S ADC）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -牛顿定理3：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证明设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线 AC,EG,FH交于一点 .设 EG,FH 分别交AC 于点 I,I. 显然 AHI= BFI 因此易知AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(C
15、IF)=AH*HI/CF*FI 故AI/CI=AH/CF. 同样可证:AI/CI=AE/CG 又 AE=AH,CF=CG. 故 AI/CI=AH/CF=AI/CI. 从而I,I 重合 .即直线AC,EG,FH交于一点. 同理可证:直线 BD,EG,FH交于一点. 因此直线 AC,BD,EG,FH交于一点. 证毕。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -燕尾定理燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图ABC ， D、 E、 F 为 BC、 CA、AB 上的中点，AD 、
16、BE、 CF 交于 O点）。图 2SABC中， S AOB ： S AOC=S BDO ： SCDO=BD ： CD ；同理， S AOC ： S BOC=S AFO： S BFO=AF ： BF； S BOC ： S BOA=S CEO ： SAEO=EC ： EA。证法 1 下面的是第一种方法：利用合比性质 ABD与 ACD同高SABD ： S ACD=BD ： CD 同理， SOBD ： S OCD=BD ： CD 利用合比性质，得SABD-S OBD ： S ACD-S OCD=BD ： CD 即 S AOB ： S AOC=BD ： CD 命题得证。证法 2 下面的是第二种方法：相似三角形法已知：ABC的两条中线AD、 CF 相交于点O，连接并延长BO，交 AC 于点 E。求证： AE=CE 证明：如图 2，过点O作 MN BC，交 AB于点 M，交 AC于点 N；过点 O作 PQ AB，交 BC于点 P，交AC于点 Q 。 MN BC AMO ABD， ANO ACD MO ：BD=AO ： AD， NO ： CD=AO ： AD MO ： BD=NO ： CD AD 是
