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1、画草图借直观助思考促理解李如平木文针对学生难于将抽象的文字表述转化为头脑表象的现象，提出了 画草图，把复杂的数学问题简明化、形象化的观点，从而使学生隐性思维显性化， 并从三个方面加以论证。关键词：草图；直观；思维笛卡尔曾说：“没有图形就没有思考”，只用大脑思考常常会“思考偏题”， 但用草图可以纠斜，还可节省繁文缛节，其实画草图的过程就是思维展示的过程。 手脑并用，可缩短学生与数学的距离，让数学思维可视。在教学中，笔者对用草 图教学进行了一些有效的尝试，具体的教学实践与反思如下：一、画草图，帮助理解题意美国著名数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那 么就整体地把握了问题，并且
2、能创造性地思索问题的解法。”因此，将问题转化 为一个图形，把问题中的条件和结论直观地、整体地表露出来，是一种十分重要 的解题方法。数学题中经常有许多文字信息的问题，学生由于缺乏读题能力，对 这些枯燥乏味文字,往往百读不得其解，因此个別学生认为题意复杂而不愿读题。 故而，笔者常向学生推荐草图工具，使“数”添“形”，以“形”助数，从而培 养学生的思维，提高分析能力。案例1:以下是笔者在2012年第1版义务教育教科书?数学七年级下册 “2.4二元一次方程的应用(1)”课内练习第2题教学时，与学生合作的“翻译” (如图1):甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行。如果甲比乙先走2小时， 那么他们在
3、乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲岀 发后经3小时相遇。请问甲、乙两人每小时各走多少千米？师：请同学们认真细致“读”题，随后请同学演示。师：（一分钟后）××同学起立，扮演甲;再请××同学 起立，扮演乙，按题0中的信息演示一下，现在开始！生1: ××错了错了，是“相向而行”！生2: ××你可是甲，一开始你先走！师：你们能将刚才的演示“画”在纸上吗？生:（齐声）能！（如图1）师：为了便于分析与思考，我们还得把题中条件和问题标注到草图中！生3:怎么标呀？甲、乙两人每小时各走多少我
4、又不知道！生4:（急忙搭腔）难道你不会设甲、乙速度分别为x，y千米/时吗？生3:哦，噢，这难不倒我！我的妙图出炉喽！（如图2）师：干得真漂亮！你们能列出数量关系解答吗？学生根据草图深入推敲，挖掘隐含信息，以路程作为等量关系，列出方程关 系进行解答：设甲，乙速度分别为x, y千米/吋，依题意得：解得：答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米。在初始阶段，部分学生的草图AI惯主要是模仿教师的草图来完成的，尤苏是教师在教学例题吋要清清楚楚、原原本本地把题中的信息反映到草图上，并且要 求其也能做到这一点。本人总结出了以上的画草图方法，将其命名为“五步法” 一一读、画、标、解、查，让学生有“章
5、”可循。久而久之，整理信息不是教师 的指令，而是学生在解题过程中最真实、最迫切的需要，这种画草图能力经过培 养是可以具备的。此吋提醒孩子们注意要对题中的信息咬文嚼字，借助草图，把 题0的意思“译”出来，有助于快速理解题意。二、画草图，显现学生思维荷兰数学教育家弗赖登塔尔也说.“数学学是一种活动，这种活动与游泳、 骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学 不会的。”在数学教学中，在遇到难题时学生经常会无所适从，而部分教师此时 可能会拼命讲解，用自己的讲解代替了学生的思考，忽略了学生的参与体验数学 的过程。只有充分经历数学的过程，才能认识数学的规律。案例2:浙教版20
6、12年第1版义务教育教科书数学七年级上册“5.4 元一次方程的应用（4广作业第2题：某班冇学生45人，会下象棋的人数是会下 围祺人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数。笔者在教学中可能也会容易忽略一个重要的“细节”：在给学生指导分析问题时，常常一边指导一边在不经意间随手画出草图（如 图3）分析，这相当于帮学生画出了草图，当吋学生只是看懂，过后在习题中遇到 类似题却不知道要画什么，原来学生看图能力强于作图能力，我们姑且可以称之 为“眼高手低”，无奈“讲了八百遍学生还不会”的教学难题再度蔓延。学生熟悉借助草图解题需要一个较长的过程，若操之过急，会欲速不达，所 以一开始
7、就应对学生提出草图要求。于是又安排了一节习题课补上一脚，让孩子 们在“画图”、“讨图”的过程中，帮助其把隐性的理解显性地表现出来：生5:如图4生6:不对，&timeS;×你看清那个“都”字了吗？两种棋都会或都不 会的人数都是5人！生5:对呀，我修改一下，如图5,这下对了吧？图4图5生7:你的只会象棋的人数与我的对不上，题目中说的是“会下象棋的人数 是会下围祺人数的3.5倍”！生5:是的，你看，题0求只会下围棋的人数，我就设只会下围棋的人数为 人，两种棋都会是5人，那会下围棋的人数不就是人了，于是我根据“会下象 祺的人数是会下围棋人数的3.5倍”，得到会下象棋的人数为人，啊！我错了，
8、 只会下象棋的人数应为人（如图5）。笔者不惜用大量的时间给予学生尝试、讨论的机会，虽用吋较多却价值斐然, 可谓磨刀不误砍柴工。此时更应给他们充足的吋间，我们可以引导学生用草图的 方式把隐含在头脑里的表象暴露出来(如图3、图4、图5)o笔者看到这些图 时，对学生的一些似是而非的模糊理解颇为惊讶，原来学生会这样想，他们的想 法居然各不相同。解：设只会下围祺的人数为人，则只会下象棋的人数应为人解得答：只会下围祺的人数为5人.通过对草图的分析和交流探查到每位学生更深层次的想法，学生的思维逐步 从不完善走向完善，从一知半解到深入透彻。学生们知道了数学式的“咬文嚼字”, 弄懂了怎样根据题意画草图，找到草图
9、的诀窍，“内化” 了草图策略。正如美国 图论学者哈里的一句名言“千言万语不及一张图”所说，将一个特定的问题转化 为一个图像，整体地把握问题，学生几乎不需什么力气，快速、准确地解决了此 题，草图功不可没。三、画草图，化解思维挫折点有专家认为，“如果知识背后没有工具，那知识只能是一种沉重的负担。”随 着年段的变化，数学的内容也更复杂，许多综合题包含着不同角度、综合考查的 知识点。这就让很多一部分学生犯怵，他们心里会产生一种莫名的“恐惧感”。 这时，就要引导学生以草图工具为抓手，以理解为线索，以不变涵盖多变，从而 化解其思维挫折点。案例3:如图6，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4,动点P从点D
10、出发沿DA 向终点A运动，同吋动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作 PE/DC,交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动吋间 为x秒，当点P运动到点A吋，P、Q两点同时停止运动，设PE=y;(3)是否存在这样的点P和点Cb使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.此吋部分教师可能会将问题的难点分解后进行讲解，笔者认为这样问题本身 也就失去了其思考的价值，“吃别人嚼过的馍没味道”正是这道理。在实践教学中，笔者倡导学生“带着笔墨，去审题”，要求尽量根据题意画出符合题意的各 类型草图，学生尝试把“问题”画出来（
11、如图7、图8、图9）:学生根据点的运动，主动抓拍了以上三幅关键状态草图，不过那仅是当点Q 在线段AE上的一种情况，此吋教师可以提问学生：师：点Q与点P是否己停止运动？生8:（经过片刻画图）对哦，点Q与点P还会继续运动，点Q还可能在线段CE上！笔者引导他们自行补充当点Q在线段CE上的另一种情况（如图10），将动点 问题彻底做到化动为静，化解学生最初的思维挫折点，让学生看到了解题的“曙yC o于是，草图成为学生思维的拐杖，笔者引导其按图索骥：师：以上四幅图中，你能求得哪幅图中X的值？生9:我能求图8和图10中x的值！先由图8中PE/DC得，即解得由图10中的得 解得：又由图12中的得解得：然而图7
12、或图9中的PQ实在难以求得师：图7或图9中的PQ实在难以求得，我们能不能不通过求PQ，绕道而 行呢？生10:由图9，我发现了∠APE为直角，易证QE=QP=QA,即解得师：好，××同学观察特别仔细!生11:等腰？等腰！三线合一！（请他上台构图）由图11发现其中的PEH与AACD相似可求得x的值！解：在图7中过点P作PH⊥QE于点H,如图11，由APEH相似于AACD 得即解得：故而，此题存在这样的点P和点Cb使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三 角形；所有满足要求的x的值为，学生的思维挫折点得以彻底的化解。在整个探索过程中，笔者引导学生借助草图，让其“画
13、好图”、“用好图”， 同时吸引全体的学生参与到教学过程中，使其处于一种积极状态，慢慢消除了他 们的“恐惧”心理。当图7或图9中的PQ实在难以求得，学生的思维再次受挫 吋，笔者呼吁以草图为抓手，随着脑和图的同步，学生的思维在慢慢地扩散、层 层地铺开，再次按图索骥，抓住解题的关键。总之，画草图不是最终0的，它只是一种强有力的工具，是一种解题惯。 通过画草图，学生把“无形”的数学题变成直观的“冇形”材料，助思考促理解。 在数学教学过程中，我们教师也要尽量让数量基于草图“显山露水”，架起形象 思维和抽象思维之间的桥梁，成就思维的拐杖，从而达到最高境界教学一一脑中 成图。：1】张奠宙，郑毓信.数学教育哲学的理论与实践M.南宁：广西教育出版社，2008.2】李德忠，赵同娟.注重变式训练提升思维品质j.中国数学教育（高中版）， 2009(7).3】罗增儒.解题分析的理念与实践.中学数学教学参考，2009(4).4】王亚权.第二轮中考数学复习习题的选择与利用(一).中国数学教育(初中版)，2011(3).作者单位：浙江省平阳县万全镇宋桥中学邮政编码：325409
