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1、学习好资料欢迎下载二次根式一、本节学习指导学习二次根式时,我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习,这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。二、知识要点1、二次根式的概念:形如a(a0)的式子叫做二次根式。注意: 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意: 因为负数没有平方根,所以 a0 是a为二次根式的前提条件,如5,21x,等是二次根式,而5,2x等都不是二次根式。2、取值范围(1) 、二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0 时,a有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方
2、数大于或等于零即可。(2) 、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a0 时,a没有意义。3、二次根式a(a 0)的非负性a( a0)表示a 的算术平方根,也就是说,a( a0)是一个非负数,即a0(a0) 。注意: 因为二次根式a(a 0)表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是0,所以非负数(a0)的算术平方根是非负数,即2()a(a0) ,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、 偶次方类似。 这个性质在解答题目时应用较多,如若0ab,则 a=0,b=0 ;若20ab,则 a=0,b=0 ;若20ab,则a=0,b=0 。4、二次根式2(
3、)a的性质 :2()aa(a0)描述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载注意: 二次根式的性质公式2()aa( a0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若a0,则2()aa,如:22(2),211()22。5、二次根式的性质2(0)(0)a aaaa a描述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意:(1) 、化简2a时, 一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则
4、等于a本 身 , 即2(0)aaa a; 若a是 负 数 , 则 等 于a的 相 反 数 -a, 即21.41431.73252.236 72.646;2、2a中的 a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,2a一定有意义;3、化简2a时,先将它化成a,再根据绝对值的意义来进行化简。6、2()a与2a的异同点1、不同点:2()a与2a表示的意义是不同的,2()a表示一个正数a的算术平方根的平方,而2a表示一个实数a 的平方的算术平方根;在2()a中,而2a中 a 可以是正实数, 0,负实数。但2()a与2a都是非负数,即2()0a,20a。因而它的运算的结果是有差别的,2()aa(a0)
5、,而2(0)(0)a aaaa a2、相同点:当被开方数都是非负数,即a0 时,2()a=2a;a0 时,2()a无意义,而2aa。7、二次根式的运算(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - -学
6、习好资料欢迎下载(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式abab( a 0, b 0);bbaa( b 0,a0) (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算三、经验之谈:特别要注意这个式子:2(0)(0)a aaaa a,这个运算过程是区别于2()a的依据。本节中还要注意根式的运算,有很多同学错误的以为:abab,根式的加减法,如果不是同类项的话是不能合并的,比如:2822 23 2,而25目前我们只能估算,或是就保持最简因式。
7、本节中还要记住一些常见根式的约等数,常见的有21.41431.73252.236 72.646;一元二次方程解法一、本节学习指导一元二次方程的概念比较少,但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。所以本节我们要多做练习, 多思考, 多积累。在中考中这部分知识会和函数等结合,到时候涉及综合知识就比较多,希望同学们能掌握好本节的解题方法。二、知识要点1、 降次直接开平方法(将被开放式看作一个整体)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载212:(21)521=55125151,2
8、2xxxxx例解:2、 配方法步骤: (1)二次项系数化为1 (2)在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方(3)化简整理,再用直接开平方法解方程2222212:6160:633160(3)2535532,8xxxxxxxxx例解3、公式法21,2(4)2bxbaca2212:210:2,1,14189191324411,2xxabcbacbxaxx例解4、 因式分解法方法:将式子左边进行因式分解,右边为0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载212:21010
9、: 2 (10)(10)0(10)(21)0100210110,2xxxx xxxxxxxx例解或5、十字相乘法(特殊的因式分解)方法:形如2()0 xmn xmn的式子,可化为()()0 xmxn212:560(1)(6)010601,6xxxxxxxx例解:或三、经验之谈:有一点我要提醒一下大家,解数学题时很多同学总是想着找简单的方法,浪费了很多时间在“想”上面,就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用,因为计算起来实在太麻烦。其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。有句话说:“笨鸟先飞嘛” !图形的旋转一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质, 除外还有一个重点是点的对称变换。本
10、节有配套免费学习视频。二、知识要点1、旋转: 将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中,O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载 对应线段与O形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等3、平移: 将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中,该直线的方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离。4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对应边连线的线段平行相等(等于平行距离)
11、 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形 中心对称:若一个图形绕着某个点O旋转 180,能够与另一个图形完全重合,则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中, 点 O叫做对称中心、 两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形:若一个图形绕着某个点O旋转 180,能够与原来的图形完全重合,则这个图形叫做中心对称图形。其中,这个点叫做该图形的对称中心。6、轴对称与轴对称图形(1) 、轴对称:若两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中,这条轴叫做对称轴。注:轴对称的性质:两个图形全等;对应点连线被对称轴垂直平分(2)轴对称图形:若一个图
12、形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这个图形叫做轴对称图形。7、点的对称变换(1) 、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P ( -x ,-y )(2) 、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时,它们的坐标中,x 相等, y 的符号相反,即点P (x,y)关于 x轴的对称点为P (x,-y )(3) 、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于y 轴对称时,它们的坐标中,y 相等, x 的符号相反,即点P (x,y)关于 y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 1
13、0 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载rddCBAOdrd=rrd轴的对称点为P (-x ,y)() 、关于直线yx 对称两个点关于直线y x 对称时,横坐标与纵坐标与之前对换,即:P(x,y)关于直线yx 的对称点为P (y,x)(5) 、两个点关于直线y-x 对称时,横坐标与纵坐标与之前完全相反,即:P(x,y)关于直线 yx 的对称点为P (-y ,-x )注: yx 的直线是过一三象限的角平分线,y-x 的直线是过二四象限的角平分线。三、经验之谈:本节中点的对称变换考得相对较多,如果在大脑中百思不得其解的话,我们可以动手作图出来观察。圆知识点总结圆与三角形、四边形
14、一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判定定理及公式。一 集合:圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹:1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三 位置关
15、系:1 点与圆的位置关系: 点在圆内dr 点 A 在圆外2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离dr 无交点直线与圆相切d=r 有一个交点直线与圆相交dR+r 外切(图2)有一个交点d=R+r 相交(图3)有两个交点R-rdR+r 内切(图4)有一个交点d=R-r 内含(图5)无交点dR-r 四 垂径定理 : 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理:此
16、定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3个结论,即:AB 是直径 ABCD CE=DE 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在 O 中, AB CD 五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即: AOB 和 ACB 是所对的圆心角和圆周角 AOB=2 ACB BCBDACAD圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等, 则可以推出其它的3 个结 论 也 即 : AOB= DOE AB=DE OC=OF BAED精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载CBAOPBAODCBAOECBADOBAONMAO圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧即:在 O 中, C、 D 都是所对的圆周角 C= D 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角