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1、学习好资料欢迎下载二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。二、知识要点1、二次根式的概念：形如a（a0）的式子叫做二次根式。注意： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意： 因为负数没有平方根，所以 a0 是a为二次根式的前提条件，如5，21x，等是二次根式，而5，2x等都不是二次根式。2、取值范围（1） 、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方
2、数大于或等于零即可。（2） 、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，a没有意义。3、二次根式a（a 0）的非负性a（ a0）表示a 的算术平方根，也就是说，a（ a0）是一个非负数，即a0（a0） 。注意： 因为二次根式a（a 0）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（a0）的算术平方根是非负数，即2()a（a0） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。 这个性质在解答题目时应用较多，如若0ab，则 a=0,b=0 ；若20ab，则 a=0,b=0 ；若20ab，则a=0,b=0 。4、二次根式2(
3、)a的性质 ：2()aa（a0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载注意： 二次根式的性质公式2()aa（ a0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a0，则2()aa，如：22(2)，211()22。5、二次根式的性质2(0)(0)a aaaa a描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：（1） 、化简2a时， 一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则
4、等于a本 身 ， 即2(0)aaa a； 若a是 负 数 ， 则 等 于a的 相 反 数 -a, 即21.41431.73252.236 72.646；2、2a中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a一定有意义；3、化简2a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简。6、2()a与2a的异同点1、不同点：2()a与2a表示的意义是不同的，2()a表示一个正数a的算术平方根的平方，而2a表示一个实数a 的平方的算术平方根；在2()a中，而2a中 a 可以是正实数， 0，负实数。但2()a与2a都是非负数，即2()0a，20a。因而它的运算的结果是有差别的，2()aa（a0）
5、，而2(0)(0)a aaaa a2、相同点：当被开方数都是非负数，即a0 时，2()a=2a；a0 时，2()a无意义，而2aa。7、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -学
6、习好资料欢迎下载（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式abab（ a 0， b 0）；bbaa（ b 0，a0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算三、经验之谈：特别要注意这个式子：2(0)(0)a aaaa a，这个运算过程是区别于2()a的依据。本节中还要注意根式的运算，有很多同学错误的以为：abab，根式的加减法，如果不是同类项的话是不能合并的，比如：2822 23 2，而25目前我们只能估算，或是就保持最简因式。
7、本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有21.41431.73252.236 72.646；一元二次方程解法一、本节学习指导一元二次方程的概念比较少，但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。所以本节我们要多做练习， 多思考， 多积累。在中考中这部分知识会和函数等结合，到时候涉及综合知识就比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。二、知识要点1、 降次直接开平方法（将被开放式看作一个整体）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载212:(21)521=55125151,2
8、2xxxxx例解：2、 配方法步骤： （1）二次项系数化为1 （2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方（3）化简整理，再用直接开平方法解方程2222212:6160:633160(3)2535532,8xxxxxxxxx例解3、公式法21,2(4)2bxbaca2212:210:2,1,14189191324411,2xxabcbacbxaxx例解4、 因式分解法方法：将式子左边进行因式分解，右边为0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载212:21010
9、: 2 (10)(10)0(10)(21)0100210110,2xxxx xxxxxxxx例解或5、十字相乘法（特殊的因式分解）方法：形如2()0 xmn xmn的式子，可化为()()0 xmxn212:560(1)(6)010601,6xxxxxxxx例解:或三、经验之谈：有一点我要提醒一下大家，解数学题时很多同学总是想着找简单的方法，浪费了很多时间在“想”上面，就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用，因为计算起来实在太麻烦。其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。有句话说：“笨鸟先飞嘛” ！图形的旋转一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质， 除外还有一个重点是点的对称变换。本
10、节有配套免费学习视频。二、知识要点1、旋转： 将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载 对应线段与O形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等3、平移： 将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）
11、 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转 180，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中， 点 O叫做对称中心、 两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转 180，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。6、轴对称与轴对称图形(1) 、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。注：轴对称的性质：两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图
12、形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。7、点的对称变换（1） 、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P （ -x ，-y ）（2） 、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等， y 的符号相反，即点P （x，y）关于 x轴的对称点为P （x，-y ）（3） 、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等， x 的符号相反，即点P （x，y）关于 y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 1
13、0 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载rddCBAOdrd=rrd轴的对称点为P （-x ，y）（） 、关于直线yx 对称两个点关于直线y x 对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线yx 的对称点为P （y，x）（5） 、两个点关于直线y-x 对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线 yx 的对称点为P （-y ，-x ）注： yx 的直线是过一三象限的角平分线，y-x 的直线是过二四象限的角平分线。三、经验之谈：本节中点的对称变换考得相对较多，如果在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来观察。圆知识点总结圆与三角形、四边形
14、一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判定定理及公式。一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三 位置关
15、系：1 点与圆的位置关系: 点在圆内dr 点 A 在圆外2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离dr 无交点直线与圆相切d=r 有一个交点直线与圆相交dR+r 外切（图2）有一个交点d=R+r 相交（图3）有两个交点R-rdR+r 内切（图4）有一个交点d=R-r 内含（图5）无交点dR-r 四 垂径定理 : 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此
16、定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3个结论，即：AB 是直径 ABCD CE=DE 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O 中， AB CD 五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即： AOB 和 ACB 是所对的圆心角和圆周角 AOB=2 ACB BCBDACAD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等， 则可以推出其它的3 个结 论 也 即 ： AOB= DOE AB=DE OC=OF BAED精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载CBAOPBAODCBAOECBADOBAONMAO圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在 O 中， C、 D 都是所对的圆周角 C= D 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角
