《高考高频考点之空间中的垂直关系付费网站的精品内容》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考高频考点之空间中的垂直关系付费网站的精品内容（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间中的乖直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运川它们进行论证和解决有 关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解 决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线血、面面 平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何-条直线都垂直，那么就 称这条直线和这个平面垂直。2、直线与平面垂直的判定：常用方法冇： 判定定理： aua,bua,acb = P, /丄 q,/丄 A = / 丄 a. b丄a, ab=a丄a；（
2、线血垂直性质定理） a 卩,a丄0=a丄a （面面平行性质定理） a丄卩，aAp=l, a丄1, au卩二a丄a （tfritfrf垂肓性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ala, b丄aOab） 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线 丄 a,b u a 二 a 丄 b）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的 长度叫做这个点到平面的距离。特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不 能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂
3、足。5、平而与平而垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面 相交所得的两条交线互相垂肓，就说这两个平面互相垂在。记作：平面a丄平面卩（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （简称：线而垂直，而而l）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平而垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）思维方式：判定两相交平面垂直的常川方法是：线面垂直，面面垂直；冇时川定义也是一种 办法。【典型例题】例1、（1）对于直线m、n和平血a、卩，a丄卩的一个充分条件是（）A、m
4、丄n, ma, n（3C、m/n, n丄卩，muaB、m丄n, a卩=m, nua D mn, n丄卩，m丄a（2）设a、b是界血直线，给出卞列命题： 经过直线a冇且仅冇一个平面平行于直线b； 经过肓线a有且仅有一个平面垂肓于肓线b； 存在分别经过直线a和b的两个平行平而； 存在分別经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错谋的命题为（）A、与B、与C、与D、仅（3）已知平面a丄平而卩，m是a内一条直线，n是卩内一条直线，Rm丄n,那么， 甲：m丄卩；乙：门丄。丙：m丄卩或n丄a； T: m丄卩H. n丄a。这四个结论中，不匸确的三个是（）解：（1）对于A,平面a与卩可以平行，也可以相交，但不垂
5、宜。对B,平面a内直线n垂直于两个平面的交线m,直线n与平面p不一定垂直，平面a、 P也不一定垂直。对D, m丄a, mn则n丄a,又n丄卩，所以a卩。只有C正确，mm n丄卩则m丄卩乂 moa,由平面与平面垂直的判定定理得a丄卩。 故选C。（2）正确，过a上任一点作b的平行线b，,则ab，确定唯一平面。 错込 假设成立则b丄该平面，而au该平而，a丄b,但a、b界而却不一定垂直。 正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为 所求。 正确，换角度思考两个垂直的平面内各収一直线会出现各种界面形式，综上所述：仅 错误选D（3）丙正确。举反例：在任一平而中作平行于交
6、线的直线m （或门），在另一平而作交 线的垂线II （或ni）即町推翻甲、乙、丁三项。思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。例 2、如图，ABCD 为直角梯形，ZDAB=ZABC=90, AB=BC=a, AD=2a, PA丄平面 ABCDo PA=ao（1）求证:PCICDo（2）求点B到直线PC的距离。（1）证明：取AD的中点E,连AC、CE, 则ABCE为正方形，ACED为等腰直角三角形,A AC丄 CD,TPA丄平血ABCD,AAC为PC在平面ABCD 的射影,A PC 丄 CD(2) 解：连BE,交AC于O,贝ijBE丄AC, 又 BE丄PA, ACCIPA=A,BE
7、丄平Iftl PAC过O作OH丄PC于H,则BH丄PC,PA=a, AC=V2a,PC= V3a,1 a yla V6 f= = a:.OH=26,72/BO= 2 a,.bh=T時4a3 即为所求。例3、在斜三棱柱/QG中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BBCC丄底面ABG(1) 若Q是BC的中点，求证：/DdCC】；(2) 过侧面BBC、C的对角线BC的平面交侧棱于M,若求证：截面MBC 丄侧面BBGC；(3) AM=MAX是截而MBCx 平面BB、CC的充要条件吗？请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分
8、析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题冃中条件的 思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。(1) 证明:B#C, D是的中点，:.AD 丄 BC底面ABC丄侧面BBCC,:.AD丄侧面昭CiC:.ADLCC.(2) 证明：延长与交于N,连结CN*：AM=MAfNA =A B AC=AN=ABCN丄C/i底面N5G丄侧而BB、CC, :.CN丄侧面 BBCC截血C|NB丄侧血BBCC 截面MBCi丄侧面BBGC.（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下血证必要性。过M作ME丄BC于E,截而MBC丄侧面BB
9、GCME丄侧面BBCC,又*：AD丄侧面BBCC:.ME/AD,M、E、D、力共面：AM侧面 BB、CC,:.AM/DETCCi 丄/D,:.DE/CCD是BC的中点，E是的中点-ccx =-:.AM=DE= 22AAi，:.AM=MAX即AM = MA】是截面MBC）丄平面BBCC的充要条件例4、如图，在正三棱锥ABCD中，ZBAC=30,平行于血）、BC的截血EFGH分别交力、BD、DC、C4于点E、F、G、H.（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由.（2）设P是棱AD.h的点，当/P为何值时，平面PBC丄平面EFGH,请给出证明.BG(1) 证明：TAD/面 EFGH,面 ACDPI
10、 面 EFGH=HG, ADu 面 ACD AD/HG.同理EFHG,:.EFGH是平行四边形BCD是正三棱锥，:.A在底而上的射影0是BCD的中心，:.DO 丄 BC,:.AD 丄 BC,:.HGIEH,四边形EFGH是矩形.(2) 作CP丄血)于P点，连结BP,：AD1.BC,:.AD 丄面 BCP：HG/AD.HG丄而BCP, HG u面EFGH 面3CP丄而EFGH, 在 RtAJPC 中，ZdP=30, 4C=4B=a,AP= 2 a、例5、如图，在直三棱柱ABGA1B1G中，底面AABC是直角三角形，ZABC=90, 2AB=BC=BBi=a,且 ACDAC=D, BC1PB1C=
11、E,截面 ABC】与截面 A】B】C 交于 DE。 求证：(1) AiBi丄平面 BBiCjC；(2) AC丄BCi；(3) DE丄平面 BBiCiCo证明：(1)三棱柱ABC-A,B,C|是直三棱柱,侧面与底面垂直，即平而ABC丄平面BBC】C,又TAB丄BC,AiBi 丄 BiCi从而ABi丄平面BBiCjCo(2) 由题设可知四边形BBjCjC为正方形，BC丄BC,而A】B丄平面BB】CC,AiC在平而BBiCiC上的射影是BiC,由三垂线定理得AQ丄BG(3) J直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，D为AiC的中点,E为BC的中点,DEAiBi，而由(1)知Ai
12、Bi丄平面BBiCiC,DE丄平面BBiCjCo思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂宜。本讲涉及的主要数学思想方法1、肓线与平血垂肓是肓线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握肓线与平面垂肓的 定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。2、注意线而垂直与线线垂直的关系和转化。3、距离离不开垂总，因此求距离问题的过程实质上是论证线而关系(平行与垂直)与解 三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答是立体儿何计算题不可缺少的步骤。4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现冇的玄线中寻找平面的垂线；若没有这样的 直线，则可通过作辅助线來解决，而作辅助线则应冇理论根据并要冇利于证明，不能随意添 加。在
13、有平面垂直时，一般耍用性质定理，在一个平而内作交线的垂线，使Z转化为线面垂 直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直，询面垂直间的转化条件和转 化应用。【模拟试题】(答题时间：50分钟)一、选择题1、若表示直线，Q表示平面，下列条件中，能便。丄Q的是 （）A、Q 丄力卫丄 c、b uotyC uab、67 丄 h.bH aC、ciCb = A.b cza.a 丄 b、agb 丄 a2、已知/与加是两条不同的岂线，若直线/丄平而若岂线加丄/,则mH a, 若加丄o,则mill.若mua,则加丄/；若mill,则加丄Q。上述判断正确的是（）A、 B、 C、 D、*3在长方体4BCD佔
14、CD中，底面是边长为2的正方形，高为4,则点4到截面 ABQi的距离是（）8343_A、3B,、8C.、3D、44、在直二面角G/”中，直线aua,直线bup,a、b与I斜交，则（）A、g不和b垂直，但可能a/bB、d可能和b垂直，也可能a/bC g不和b垂直，也不和b平行 D、不和b平行，但可能g丄b*5、如图，ABCD-ABXCXD为正方体，下面结论错谋的是（）A、3D平而 CBDB、/Ci丄BDC、/C丄平面CBQiD、异面直线与C0所成的角为60。6、设 b为两条直线，弘0为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A、若Q，b与q所成的角相等，则a/hB、若。处0,仪 0,则a/hC、若aua, bu卩,a/ b，则a/ 3、若。丄b丄0,a丄0,则。丄b 二、填空题7、在肓四棱柱ABCD-AxBCD中，当底而四边形ABCD满足条件吋，有出丄ED】（注：填上你认为正确的一个条件
