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1、机械系统动力学第二章单自由度机械系统的刚性动力学兰州理工大学李有堂编著 机械系统动力学：主要研究在力的作用下机械的运动。 机械系统的刚性动力学：忽略构件弹性变形的理想机械系统动力学问题，即研究机械在运动过程中的受力情况以及在力的作用下运动状态的一门科学。 第一节 引言任务：建立系统的参数与作用于系统的外力 和系统运动状态之间的关系。解决的问题：1）在已知外力作用下，求解 系统中各构件的受力和运动状态等正向 动力学问题；2）已知某种运动规律， 求解应向系统施加外力等逆向动力学问 题。 第一节 引言假定： 组成理想机械系统的所有构件都是刚体，忽略弹性变形； 运动副中无间隙； 运动副中无摩擦力； 构
2、件刚度较大且运动速度不高。第一节 引言步骤： 1）将实际机械系统简化为等效的力学模型； 2）根据等效力学模型列出系统的运动微分方程； 3）应用解析法或数值法求解运动微分方程，得出等效构件的运动规律。第一节 引言 驱动力：由原动机发出并传给驱动构件的 力，此力做正功。 驱动力分类： 1）驱动力是常数。 2）驱动力是位移的函数。 3）驱动力是速度的函数。第二节 驱动力和工作阻力 工作阻力：完成有用功时，作用于机械系 统上的阻力，此力做负功。 工作阻力分类： 1）工作阻力是常数。 2）工作阻力随位移而变化。 3）工作阻力随速度而变化。 4）工作阻力随时间而变化。 第二节 驱动力和工作阻力 等效力学模
3、型：将实际的物理模型进行简化，以不影响实际工作状态为前提。 等效的原因：力学问题可以应用牛顿定律或达朗贝尔原理建立方程。 系统构件多 运动方程多 求解复杂。 依据：单自由度机械系统的运动只决定于一个参数（坐标）。 第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 等效力学模型 实质：被研究系统的动力学问题转化为一个 等效构件的动力学问题。 内容：将力、力矩、质量等效地转化到同一 构件上。 原理：功能原理 方法：选定坐定轴转动或直线运动的主动构 件。 等效力学模型第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 原理：等效力或等效力矩所作的功与作用在系统上的所有外力与外力矩所作的功之和相等。为了简便，等效力或者等效
4、力矩的功率与所有外力与外力矩的功率相等。 等效力与等效力矩第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 等效力与等效力矩和的表达式为： 根据等效力或等效力矩的功率与系统总功率相等，得到： 第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 等效质量与转动惯量第三节 单自由度机械系统的等效力学模型原理：动能相等。即等效构件具有的动能 等于各构件的动能之和。平面运动时，构件的动能为： 等效质量与转动惯量第三节 单自由度机械系统的等效力学模型根据动能相等的原则，得到： 等效质量与转动惯量第三节 单自由度机械系统的等效力学模型me和Ie的表达式为： 等效构件的运动方程第三节 单自由度机械系统的等效力学模型p能量形式的运
5、动方程： 根据功能原理，等效力矩所作的功等于等效构件 动能的变化量=，得即原理：功能原理 等效构件的运动方程第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 由右图可得能量形式的运动方程：若等效构件为作直线运动的构件，则相应有 等效构件的运动方程第三节 单自由度机械系统的等效力学模型p力矩形式的运动方程： =由得：，则：即：展开得：力形式的运动方程式为： 等效转动惯量及其导数的计算方法第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 在运动分析中，机构上任意点的速度、加速度矢量常用x、y方向的分量表示。因此，等效转动惯量的的计算式可改写为对于变传动比的机构，其传动比为转角的函数，转动惯量的表达式极为复杂，不易用解
6、析法求出。 等效转动惯量及其导数的计算方法第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 将上式对求导可得：由于和均与等效构件的真实运动无关，假设等效构件作匀速运动，通过运动分析即可求得和，对机构各位置进行运动分析，可求得各位置的 。和例 在图所示的曲柄滑块机构中，已知曲柄长l1=0.2 m，连杆长l2=0.5 m，点B到连杆质心的距离ls2=0.2 m，e=0.05 m，连杆质量m2=5 kg，滑块质量m3=10 kg，曲柄对其转动中心的转动惯量IA=3 kgm2，连杆对其质心的转动惯量Is2=0.15 kgm2。用数值方法计算曲柄滑块机构的等效转动惯量Ie及其导数d Ie/d 随转角1的变化规律。
7、 运动方程的求解方法第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 已知机构的受力及运动的初始状态，则可通过求解运动方程得到等效构件的运动规律。大多情况下，等效力矩又是位移、速度或者时间的函数；对于非定比传动机构，等效转动惯量及导数也大多是角位移的函数，因此，很难得到解析解。 运动方程的求解方法第三节 单自由度机械系统的等效力学模型 若机械系统的受力为位置的函数（包括常数），其等效力矩仅为转角的函数时。即：p等效力矩是等效构件转角的函数式运动方程求解用能量形式的运动方程式表达为： 由上式可得：Ie0、0分别为初始位置 0时的等效转动惯量和角速度； 、 分别为角位移 时的等效转动惯量和角速度； 为转角
8、的函数的等效力矩。 是以表达式形式给出且可积分时，可得到解析解；若不可积分时，只能用数值积分法来求解。 由上式可得：如果需要求出用时间函数表示的运动规律时，可由积分得：把该式代入上式即可确定位置与时间的关系。 运动方程的求解方法第三节 单自由度机械系统的等效力学模型p等效转动惯量是常数，等效力矩是角速度的函数 时运动方程的求解 在仅含定比传动机构的机械系统中，有两种求解方法：解析法和数值法。当等效力矩的函数式易于积分时用解析法求解；当其函数式过于复杂而不能积分或者等效力矩直接以一系列离散数值给出时，则用数值法。由于 为常数，故 ，力矩形式的运动方程式： 分离变量后积分得：可以简化为： 解析方法
9、若 代入并积分得：若 代入上式并积分得：当 时，积分得： 无根表示机械系统没有稳定转速，此时上式的解只会出现在机械停机过程中。当 时，积分得： 若要求出 的函数关系，可利用以下积分变换： 代入式（2-21），并分离变量积分得：若 ，积分得： 若 ， 且 时，积分得： 若 ， 且 时，积分得： 例：如图所示电动葫芦的等效转动惯量为：加载前： 加载后： 其等效力矩为 假定钢丝绳未拉直前电动机启动并达到空载角速度为： 求钢丝绳拉直并将重物吊离地面加载过程中的运动规律。 解：钢丝绳拉直瞬间，等效转动惯量突然加大，忽略钢丝绳弹性，则此瞬间的角速度可由动能不变原则来确定。 初始条件：由：得：其反函数为 代
10、入已知参数得 当等效力矩的函数式过于复杂而无法积分，或者等效力矩是以一系列离散数据给出时，需要用数值法来求解。其方法是：将微分方程分段处理，把时间区间划分为很多相等的小区间，近似认为区间内的函数呈直线变化或者按照某种近似规律变化，然后由区间的初始值求区间的终点值，以此类推，其精度一般能够满足工程应用的要求。 力矩的表达式 数值方法 为令 h为步长，即划分的小时间区段的长度。根据给定的初始条件，由四阶龙格库塔法求解，得出迭代式 由四阶龙格库塔法求解，得出迭代式 运动方程的求解方法第三节 单自由度机械系统的等效力学模型p等效力矩是等效构件转角和角速度的函数时 运动方程的求解 对于含变传动比机构的系
11、统，由于其等效力矩与传动速比有关，所以一般都与等效构件的转角有关。若发动机的机械特性与速度有关，则等效力矩同时为等效构件转角和角速度的函数。 一般用数值方法求解 引入积分变换 将 数值方法设则力矩形式的运动方程为当给定初始值和后，即可进一步求出各值下的角速度。 采用计算精度较高的四阶龙格库塔法，则可得迭代公式为 化为令 一种快速算法 若等效力矩可以表示为两个函数之和，其中一个为角速度的函数，另一个为转角的函数。此时采用能量形式的运动方程式求解比较简单。 设等效驱动力矩和等效阻力矩为 将等效构件的运动周期分为等分，与等效构件的转角相对应的等效阻力矩中与转角有关的部分是已知量。能量形式的运动方程式 利用梯形公式求积分可得 把等效驱动力矩和等效阻力矩代入得利用递推公式 当已知初始条件和时便可用此递推公式求出各转角下的角速度。
