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1、1.3.2奇偶性(二)自主学习)学习目标1. 巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用.2. 能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题.自学导引1. 定义在R上的奇函数，必有f(0) =0.2. 若奇函数1(0在a,却上是增函数，旦有最大值则/*(*)在一人，一a上是增函数，且有最小函一3. 若偶函数广(才)在(一8, 0)上是减函数，则有广(x)在(0, +8)上是增函4. 下列论断正确的为(填序号).(1) 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2) 如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3) 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；(4
2、) 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.答案(4)5. 函数=的奇偶性为，单调递增区间为,单调递减区间为.答案 偶函数0, +)( 8, 06. 函数，a)=x|x|的奇偶性为，单调递增区间为. 答案奇函数(一8, +8)对点讲练知识点一奇、偶函数的图象的性质【例1】设奇函数广(X)的定义域为 5,5,当xo,5时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的X的取值集合为y-5-2 O分析利用奇函数图象的性质，画出函数在-5, 0的图象，直接从图象 中读出信息.答案(-2, 0)U(2, 5)解析由原函数是奇函数，所以尸f(x)在 5, 5上的图象关于坐标原点对称，由 尸
3、广(x)在0,5上的图象，得它在 5,0上的图象，如图所示.由图象知, 使函数值y0的x的取值集合为(-2, 0) U (2, 5)规律方法 利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶 函数图象关于*轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后 连点成线.变式迁移1已知y= fx)和y=g(*)都是定义在一兀，n 上的函数,y= /(%)C X是偶函数，y=g(x)是奇函数，姮0, n 上的图象如图所示，则不等式 g x0的解集为.答案(一守，。)U (板31)解析 利用图象的对称性，画出f(x)在一兀，0上的图象如图所示.0,fx)=广(一才)=(*)2 + 3( x)
4、 1=/ + 3*+1.又奇函数f(x)在原点有定义，.f(0)=0.*2+3*1才0.(x)=0x=0、一孑+3*+1*0,求实数7的取值范围.解由 f(/n) + f(/n 1) 0,得广(沥 f(m 1),: f3在一2, 2上为奇函数，/. A1 历) ()又： f3在0,2上为减函数，心)在 2,2上为减函数.一2W1*2 _ 1W mW 3_2WW2即fS或f(x0B. f(x) f( x) WOC. fx) 一产(一才)0D. fx) 一产(一才)河答案D解析:f3 为奇函数，./，(-2)/，(-3)d. r()A-2)A-3)/，(-2)c. AXA-3)A-2)答案A解析
5、因为当00, +8)时，f(x)是增函数,所以有r(2)r(3)r(n). 乂 f(x)是 R 上的偶函数,故 r(-2)=r(2), A-3) =/-(3),从而有 /-(-2)/-(-5. 已知偶函数/V)在区间0, +8)上单调递增，贝IJ满足f(2x的 x的取值范围是()答案A解析 I心为偶函数，.心 =1(| ).则 A12-1 IX/ -.又： f3在o, +8)上单调递增，11 2二 12x 11 -,解x-OO O二、填空题6. 定义在(-1,1)上的奇函数 心)=1，则常数成、的值分别为答案0、0X| 0 解析 由/(0) =0知/刀=0.由/(X)是奇函数知f(一对=_ f
6、(对,即挡 4 x nxv 1x+0x+/ix+lf.x/ix+l = x +x+l,/.7?=0.7. 若广(x)是偶函数，其定义域为R且在0, +8)上是减函数，则j)与 /Va+l)的大小关系是.答案广(/a+l)wj)3解析 显然4a+lN另乂在0, +8)上是减函数，./W名+1) Wj)又广(*)是偶函数，一才=4才，日+1)才三、解答题8. 已知函数广(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且fx) +gx) =xx+2,求 fx), g(x)的解析式.解: f3是奇函数，g(*)是偶函数，.”(一X)=产(才)，g( x)=g(x),又+g(x) =x+2,/. f( x) +g(
7、x) =x +x+2,即一f(x) +g(x) =/ + *+2 由、得 g(x)T+2, f(x)=x.A/ 1 99. 函数广(x)=r是定义在(一1,1)上的奇函数，且七=三1 十xW b(1) 确定函数广(才)的解析式；(2) 用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数；(3) 解不等式A t 1) +广(t) 0.(1)解.f(x)是定义在(1,1)的奇函数，,、, 、 ax- b ax bx)= /tr) 即 i+ = i+,./ b= b, b=0.1Jl) 2 尹 2 2j=? - =g，.a=l.1+tV函数解析式为广(x) = + (1X1).证明 任取为，足6(1, 1),且为足,/ 、/ 、 %i x2心)心)=匚旧一 WXL 土1XA1+ai1+峨.一1531,.由一版0, 1 xa0, (1+ai) (1+*30,f(x f(x0,即 f(xi) f(x).f(x)为(一1, 1)上为增函数.(3) 解 vAf-l)+Af)0, A,: f3是(1,1)上的奇函数，: f( t)=ft), :t).广(才)为(一1, 1)上的增函数，解得(K /7-.不等式的解集为
