《2021年导数证明不等式构造函数法类别(教师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年导数证明不等式构造函数法类别(教师版)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载1、移项法构造函数导数证明不等式构造函数法类别，x1x1 x12 x1 2【例 1】已知函数 f xln x1x ，求证：当 x1时，恒有 11ln xx1分析：此题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g xln x从其导数入手即可证明；【解】 f x11xx1x1当1x0 时， f x0 ，即 f x 在 x1,0 上为增函数当 x0 时， f x0 ，即 f x 在 x0, 上为减函数故函数 f x 的单调递增区间为 1,0 ，单调递减区间 0,于是函数f x 在 1, 上的最大值为 f x maxf 00 ，因此，当 x1时， f即 ln x1x0 ln
2、x1x （右面得证） ，现证左面，令 gxln x111 ， 就g x11x当 x 1,0时, g x0;当x 0,时, g x0，即 g x 在 x 1,0 上为减函数，在 x0, 上为增函数，11 xx11 ，x1f 00故函数 g x 在 1, 上的最小值为g x ming 00 ， 当 x1时， g xg00 ，即 ln x1110x1 ln x111，综上可知，当 x1时,有 11ln x1xx1x12、作差法构造函数证明12x求证：在区间 1, 上，函数 f x 的图象在函数g x2 x3 的【例 2】已知函数 f xxln.23图象的下方；1223分析： 函数 f x 的图象在函
3、数g x 的图象的下方不等式 f xg x 问题， 即xln xx23只需证明在区间 1, 上，恒有 1 x2ln x2 x3 成立，设 F xg xf x ， x1, ，考虑到231F 106要证不等式转化变为：当x1时， F xF 1 ，这只要证明：g x 在区间 1, 是增函数即可；，【解】设F xg xf x ，即1 xF x2 x3312 x 2x1 x 221ln x ， x1 2 x2x1就 F x2x2x=xx当 x1时， F1x =x从而 F x 在 1, 上为增函数，F xF 106当 x1时 g xf x0 ，即f xg x ，故在区间1, 上，函数f x 的图象在函数g
4、 x2 x 3 的图象的下方；33、换元法构造函数证明【例 3】（ 20XX年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln 111nn 2113都成立 .n分析：此题是山东卷的第（II ）问，从所证结构动身，只需令x ，就问题转化为：当xn0 时，恒有 ln x1x2x3 成立，现构造函数hxx3x 2ln x1 ，求导即可达到证明；【解】令h xx 3x2ln x1 ，就 h x3 x22 x1x13x3 x12在 xx10, 上恒正，所以函数hx 在0, 上单调递增， x0, 时，恒有h xh00，即 x3x 2ln x10 ，ln x1x 2x3对任意正整数n，取 x1n0,，就有ln
5、1111nn 2n 3【警示启发】当F x 在 a, b 上单调递增，就 xa 时，有F xF a 假如f a a ，要证明当 xa 时， f x x ，那么，只要令F x f x x ，就可以利用F x 的单调增性来推导 也就是说，在F x 可导的前提下，只要证明F x即可4、从条件特点入手构造函数证明【例 4】如函数 y=f x在 R上可导且满意不等式x fx f x恒成立，且常数 a，b 满意 ab，求证：a f a b f b【解】由已知x f x +f x 0 构造函数F xxf x ，就 F xx f x +f x0， 从而F x 在 R上为增函数；ab F aF b即 a fa
6、bf b【警示启发】 由条件移项后xf xf x ，简单想到是一个积的导数，从而可以构造函数F xxf x ，求导即可完成证明；如题目中的条件改为xf xf x ，就移项后xf xf x ，要想到是一个商的导数的分子，平常解题多留意总结；5、主元法构造函数例（全国）已知函数f xln1xx, g xx ln x(1) 求函数 f x 的最大值；(2) 设 0ab , 证明 ： 0g agb2 g ab 2ba ln 2 .证明：对g xx ln x 求导 , 就g xln x1. .在 gagb2 g ab 2中以 b 为主变元构造函数,设 F xgag x2g ax , 就 F x 2g x
7、a2 g2x ln xln ax .2当 0xa 时，F x0 , 因此F x 在 0, a 内为减函数 .当 xa 时,F x0 , 因此F x 在 a, 上为增函数 .从而当 xa 时,F x有微小值F a .由于 F a0, ba, 所以F b0 , 即 gagb2 g ab0.2又设 G xF x xa ln2. 就 G xln xln ax 2ln 2ln xlnax .当 x0时,G x0 . 因此G x 在0, 上为减函数 .由于 Ga0, ba, 所以Gb0 , 即 g agb2g ab 2ba ln 2 .6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例已知函数f xaex1 x22(
8、1) 如 fx在 R上为增函数 , 求 a 的取值范畴 ;2如 a=1, 求证 :x 0 时,fx1+xx解： 1fx ae ，（）在上为增函数，f x 对恒成立，-x即对恒成立记（），就 =1-xe，当时，（），当时，（） 知（）在 - ,1 上为增函数 , 在1,+ 上为减函数 , gx 在 x=1 时, 取得最大值，即 gxmax=g1=1/e, a 1/e,即 a 的取值范畴是 1/e, + 2 记 FX=fx1+x =ex1 x 212x x0就 F x=e x -1-x,令 hx= F x=e x-1-x,就 h x=e x -1当 x0 时, h x0, hx 在0,+ 上为增函数 ,又 hx 在 x=0 处连续 , hxh0=0即 Fx0 , Fx在0,+ 上为增函数 , 又 Fx 在 x=0 处连续 , FxF0=0,即 fx1+x7. 对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）1 11 x例：证明当 x0时, 1xxe28. 构造形似函数例：证明当 bae, 证明a bb a例：已知 m、n 都是正整数，且 1mn, 证明： 1m) n1n m【思维挑战】1 、设 a0, f xx1ln 2 x2a ln x求证：当 x1时，恒有 x2ln
