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1、高考圈-助你轻松跨过高考 专题之一 牛顿第二定律牛顿第二定律1.定律的表述 物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，既F=ma （其中的F和m、a必须相对应）特别要注意表述的第三句话。因为力和加速度都是矢量，它们的关系除了数量大小的关系外，还有方向之间的关系。明确力和加速度方向，也是正确列出方程的重要环节。 若F为物体受的合外力，那么a表示物体的实际加速度；若F为物体受的某一个方向上的所有力的合力，那么a表示物体在该方向上的分加速度；若F为物体受的若干力中的某一个力，那么a仅表示该力产生的加速度，不是物体的实际加速度。2.应用牛顿第二定律解题的步
2、骤 明确研究对象。可以以某一个物体为对象，也可以以几个物体组成的质点组为对象。设每个质点的质量为mi，对应的加速度为ai，则有：F合=m1a1+m2a2+m3a3+mnan对这个结论可以这样理解：先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律：F1=m1a1，F2=m2a2，Fn=mnan，将以上各式等号左、右分别相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，总是成对出现的，其矢量和必为零，所以最后实际得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F。 对研究对象进行受力分析。（同时还应该分析研究对象的运动情况（包括速度、加速度），并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。 若研究对象在不共线的
3、两个力作用下做加速运动，一般用平行四边形定则（或三角形定则）解题；若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动，一般用正交分解法解题（注意灵活选取坐标轴的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。 当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时，那就必须分阶段进行受力分析，分阶段列方程求解。 解题要养成良好的习惯。只要严格按照以上步骤解题，同时认真画出受力分析图，那么问题都能迎刃而解。AB F3.应用举例例1如图所示，mA=1kg，mB=2kg，A、B间静摩擦力的最大值是5N，水平面光滑。用水平力F拉B，当拉力大小分别是F=10N和F=20N时，A、B的加速度各多大？解：先确定临界值，即刚好
4、使A、B发生相对滑动的F值。当A、B间的静摩擦力达到5N时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经发生了相对滑动，A在滑动摩擦力作用下加速运动。这时以A为对象得到a =f/mA =5m/s2，再以A、B系统为对象得到 F =（mA+mB）a =15N当F=10N15N时，A、B间一定发生了相对滑动，用质点组牛顿第二定律列方程：，而a A=f/mA =5m/s2，于是可以得到a B =7.5m/s2例2如图所示，m =4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37角。当：小车以a=g向右加速；小车以a=g向右减速时，分别求细线对小球的拉力F1和后壁对小球的压力F2
5、各多大？F2F1GavF1Gva解：向右加速时小球对后壁必然有压力，球在三个共点力作用下向右加速。合外力向右，F2向右，因此G和F1的合力一定水平向左，所以 F1的大小可以用平行四边形定则求出：F1=50N，可见向右加速时F1的大小与a无关；F2可在水平方向上用牛顿第二定律列方程：F2-0.75G =ma计算得F2=70N。可以看出F2将随a的增大而增大。（这种情况下用平行四边形定则比用正交分解法简单。） 必须注意到：向右减速时，F2有可能减为零，这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变，因此F1的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。当时G和F1的合力刚好等于ma，所以
6、a的临界值为。当a=g时小球必将离开后壁。不难看出，这时F1=mg=56N， F2=0例3如图所示，在箱内的固定光滑斜面（倾角为）上用平行于斜面的细线固定一木块，木块质量为m。当箱以加速度a匀加速上升时，箱以加速度a匀加速向左时，分别求线对木块的拉力F1和斜面对箱的压力F2解：a向上时，由于箱受的合外力竖直向上，重力FF2F1a vGvaaxayF2F1GGxGyxy竖直向下，所以F1、F2的合力F必然竖直向上。可先求F，再由F1=Fsin和F2=Fcos求解，得到：F1=m(g+a)sin，F2=m(g+a)cos 显然这种方法比正交分解法简单。a向左时，箱受的三个力都不和加速度在一条直线上
7、，必须用正交分解法。可选择沿斜面方向和垂直于斜面方向进行正交分解，（同时也正交分解a），然后分别沿x、y轴列方程求出F1、F2：F1=m(gsin-acos)，F2=m(gcos+asin) 经比较可知，这样正交分解比按照水平、竖直方向正交分解列方程和解方程都简单。 还应该注意到F1的表达式F1=m(gsin-acos)显示其有可能得负值，这意味这绳对木块的力是推力，这是不可能的。可见这里又有一个临界值的问题：当向左的加速度agtan时F1=m(gsin-acos)沿绳向斜上方；当agtan时木块和斜面不再保持相对静止，而是相对于斜面向上滑动，绳子松弛，拉力为零。例4如图所示，质量为m=4kg
8、的物体与地面间的动摩擦因数为=0.5，在与水平成=37角的恒力F作用下，从静止起向右前进t1=2s后撤去F，又经过t2=4s物体刚好停下。求：F的大小、最大速度vm、总位移sF解：由运动学知识可知：前后两段匀变速直线运动的加速度a与时间t成反比，而第二段中mg=ma2，加速度a2=g=5m/s2，所以第一段中的加速度一定是a1=10m/s2。再由方程可求得：F=54.5N 第一段的末速度和第二段的初速度相等都是最大速度，可以按第二段求得：vm=a2t2=20m/s 又由于两段的平均速度和全过程的平均速度相等，所以有m 需要引起注意的是：在撤去拉力F前后，物体受的摩擦力发生了改变。四、连接体（质
9、点组） 在应用牛顿第二定律解题时，有时为了方便，可以取一组物体（一组质点）为研究对象。这一组物体可以有相同的速度和加速度，也可以有不同的速度和加速度。以质点组为研究对象的好处是可以不考虑组内各物体间的相互作用，这往往给解题带来很大方便。使解题过程简单明了。vFaA B例5如图A、B两木块的质量分别为mA、mB，在水平推力F作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A、B间的弹力FN。解：这里有a、FN两个未知数，需要建立两个方程，要取两次研究对象。比较后可知分别以B、（A+B）为对象较为简单（它们在水平方向上都只受到一个力作用）。可得这个结论还可以推广到水平面粗糙时（A、B与水平面间相同）；也可以推
10、广到沿斜面方向推A、B向上加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。例6如图，倾角为的斜面与水平面间、斜面与质量为m的木块间的动摩擦因数均为，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面仍保持静止。求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。可以先求出木块的加速度，再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到： 如果给出斜面的质量M，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为：FN=Mg+mg(cos+sin)sin，这个值小于静止时系统对水平面的压力。O12例7 长L的轻杆两端分别固定有质量为m的小铁球，杆的三
11、等分点O处有光滑的水平转动轴。用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放，当杆到达竖直位置时，求轴对杆的作用力F的大小和方向。解：根据系统机械能守恒可求出小球1在最高点的速度v：0=mg1/3L-mg2/3L+1/2mv2+1/2m(2v)2， 在竖直位置对系统用牛顿第二定律，以向下为正方向，设轴对系统的作用力F向上，得到F=2.4mg 五、向心力和向心加速度（牛顿第二定律在圆周运动中的应用）1.做匀速圆周运动物体所受的合力为向心力 “向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向心力。2.一般地说，做圆周运
12、动物体沿半径方向的合力为向心力。当作圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。3.圆锥摆NGF 圆锥摆是典型的运动轨迹在水平面内的匀速圆周运动。其特点是由物体的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。例8小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的（小球与
13、半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R。）解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有： ，由此可得：，（式中h为小球轨道平面到球心的高度）。可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。 本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。4.竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及结论 这类题的特点是：物体做圆周运动的速率是时刻在改变的，
14、由于机械能守恒，物体在最高点处的速率最小，在最底点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。绳FGGF弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有即，否则不能通过最高点。弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，否则将离开桥面，做平抛运动。弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。可以进一步讨论：当时弹力必然是向下的；当时弹力必然是向上的；当时弹力恰好为零。当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零
15、。例9杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中F=1/2mgmg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。若F向上，则 若F向下，则本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。 特别需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。六、万有引力 人造卫星1.用万有引力定律求中心星球的质量和密度 当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M，半径为R，环绕星球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有：，可得出，由r
