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1、从核心素养出发，落实推理能力的培养作为数学核心素养之一的推理能力该如何培养，是广大教师关注的 热点问题之一。笔者认为，在数学学习过程中，应以具体学习内容为载体, 以问题解决为主线，通过创设探索情境，引导学生充分思考、动手实践， 充分经历画图、列表、假设、猜想、验证等过程，把培养学生的推理能力 落到实处。本文就人教版四下第九单元“鸡兔同笼” 一课，谈谈笔者的思 考和体会。一、学情分析在学习“鸡兔同笼”问题之前，学生己经有过用假设法解决问题的经 验，但因为鸡兔同笼问题的数量关系比较隐蔽且抽象，中年级学生思维以 具体形象思维为主，他们理解起来有困难。如果没有有效的启发和引导， 一部分学生可能不知道怎
2、样根据假设产生的“矛盾”进行推理。在应用过 程中，有的学生可能会停留在表面素材的认识，不能根据内在数量关系的 特征來理解和应用，造成“只知鸡兔，不知其他”，碰到类似的问题无从 下手，也就是不会类比联想，不能学以致用。二、教学策略建议本节课应让学生亲身经历鸡兔同笼问题解决的过程，通过猜想验证、 讨论交流等方式，让学生在推理思考的过程中了解和感悟数学思想，掌握 不同的解题策略和方法。就具体方法而言，主要有画图法、列表法、假设 法等。1. 画图尝试，直观推理。用画图法解决鸡兔同笼?题，部分教师觉得既费时乂麻烦，在教学过 程中不重视给予呈现和引导。但笔者认为，画图法至少有三个好处：英一, 内隐的数量关
3、系以直观的手段呈现，体现了几何直观的高级思维方式，冇 利于发展学生解决问题的策略。其二，适应中年级学生以具体形象为主的 思维特点，学生借助直观的手段进行推理，让数学内容变得容易理解。英 三，数与形之间的变化，让数学学习过程变得新奇有趣，有利于激发学生 学习数学的积极情感。在例1教学中，鸡兔数量总和比较少（8只），可以先尝试用画图法进 行直观推理。教师可以先教学生用简图表示鸡和兔，本题讲的是头和腿的 问题，所以可以用表示头，用“丨”表示腿。然后，可以让学生自 己尝试用画图法解决问题。学生呈现的思路可能有以下两种：其一，先1 只鸡对应1只兔画，画完3只鸡和兔时，还剩下2个头，8条腿，即剩下 2只兔
4、，总共是3只鸡和5只兔。其二，分别画4只鸡和4只兔，发现腿 的总条数少了 2只腿，把一只鸡换成一只兔，变成3只鸡和5只兔。在第 一种思路中，在学生分别画了 3只鸡和3只兔时，教师可以依次提问如下：“还剩下儿个头儿只腿没有画？ ” “剩下2个头8条腿，说明剩下的动物 可能是2只鸡吗？必可能是1只鸡1只兔吗？必为什么是剩下2只兔？ ” 通过上述提问启发学生完成思维推理过程。在第二种思路中，应先引导学 生发现推理中的矛盾：鸡兔总数满8只，腿还差2条。然后让学生围绕以 下问题进行讨论：“腿差2条，可以再画1只鸡吗？ ” “如何在不改变鸡兔 总数的前提下解决少2条腿的问题？ ”“这时候鸡有儿只？兔有儿只
5、？ ” 推理的特征在于严密性和逻辑性，上述这些问题的设计，既可以帮助学生 自主完成思维推理的过程，还可以启发学生在思考讨论的过程中感受推理 的特征。2. 表格调整，比较推理。画图法虽然直观，但如果鸡兔总数比较多，又需耍逐一枚举各种情况 的时候，可以用表格法解决问题。这也是初中数学常用的解题方法。很多 学生不愿意使用逐一枚举的方法，认为太烦琐，有些教师也不够重视。其 实，表格法看上去烦琐，但是对于培养推理能力而言却又独具价值。借助 列表，学生可以把所冇的情况逐一展现，能做到既不重复也不遗漏，培养 学生有序思考的习惯。也可以让学生观察表格中数字的变化特征，发现隐 藏的数量关系和规律。在借助表格法解
6、决鸡兔同笼问题时，学生呈现的策 略一般有三种：逐一枚举、取中枚举或极值列表。在用逐一枚举法列表时，教师可以先呈现“鸡兔一共有8只”这个条 件帮助学生做一些必要的梳理，如“鸡兔分别冇几只，一共冇几种可能？ ” 逐一枚举的过程其实就是一个推理的过程，教师耍注意训练学生做到不重 复不遗漏，当然，也可以观察算式对称性特点(如0+8, 1+7, 2+6, 3+5, 4+4, 5+3等)，得到一共有9种可能，这就提升了推理的思维活动经验。值得一提的是，学生尝试用枚举验证的方法时，如果按顺序依次枚举, 最少尝试4次就可以找到答案，反之，如果是杂乱的枚举，最多需要9次 才能找到正确结果。当然，教师不应满足于解
7、决鸡兔只数的问题，可以呈 现所有的情况，让学生观察其中的规律，如表1。讣学生明白，“在鸡兔总数不变的情况下，鸡每增加一只，总腿数就 减少2条”，反之，“在鸡兔总数不变的情况下，兔每增加一只，总腿数就 增加2条”。明白了这个道理，教师可以从优化推理的角度引导学生不断 优化枚举的过程。如，当枚举出现“5只鸡3只兔”的时候，总腿数需要 增加4条，只要把其中的2只鸡换成2只兔即可。教师还可以借助表格让 学生充分举例进行推理调整，比如出现“7只鸡1只兔、2只鸡6只兔时” 让学生充分说理，多次经历推理思考过程。有的学生可能会根据总数为8这个偶数特征，提出取中枚举的思路， 即从“4只鸡，4只兔”出发，进行推
8、理。教师可以抓住推理过程中的矛 盾，启发学生思考并表达自己的看法：“当鸡兔只数都为4只时，比总腿 数少了2条，该怎么办？ ”“把兔换成鸡还是把鸡换成兔？为什么？ ”“需 要把几只鸡换成兔？为什么？ ”3. 假设推理，优化推理。前面己经提到，如果仅从“鸡兔总数共8只”这个条件出发进行假设, 一共可以呈现9种不同的情况，但冇些极端的假设可以用推理的方式排除, 比如问学生“这8只有可能都是鸡吗？有可能都是兔吗？为什么？ ”学生 很容易排除这两种假设。但这种假设是不是都没冇意义呢？笔者认为，假 设是推理的前提，教材中呈现的假设法其实就是利用这种极端的情况一一 “假设全部是鸡或全部是兔”来思考推理。从这
9、个思维层面上讲，列表英 实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象 和提升。因此，教学“鸡兔同笼”问题，耍把假设的思想方法作为解决“鸡 兔同笼”问题所有方法中最基本的解题方法，在教学中应该将直观的列表 法与抽象的假设法进行沟通与联系,借助列表讣学生真正理解假设法,以发展学生的思维能力。值得一提的是，学生在用假设法进行解题时,经常会遇到张冠李戴的尴尬：只知机械套用假设法思路列式计算，却不知 道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数，或者误认为假设是兔（鸡）， 求出來的也是兔（鸡）。这都说明学生并没冇真正理解假设法。因此，在 教学过程中更有必耍让学生经丿力清晰的推理过程，这个推理
10、过程的核心其 实是替换的思路，教师可设计一些环环相扣的问题让学生充分经历逻辑推 理的过程。例如，“假设全是鸡，会遇到什么问题？ ” “如果是总腿数多了 耍怎么办？总腿数少了又耍怎么办？ ” “如果是把鸡（兔）换成兔（鸡）， 求出來的结果是谁的只数？为什么？ ”当然，在掌握鸡兔同笼的结构特征和解题方法Z后，教师还可以再 通丫变式练习进行拓展，比如用鸡兔同笼问题的思维方式解答“龟鹤问 题”，或者“自行车三轮车”等问题。在变式练习的过程中应注意引导学 生从结构特征和数量关系方面来实现推理思考，经丿力问题解决的过程。三、教学片段例举【教学片段1】师：如果不列表，你能计算出鸡和兔的只数吗？师：除了用列表
11、法，我们还可以用假设法来解答。（1）假设全是鸡。师：假设全是鸡，会遇到什么问题？生：8只鸡就有16条腿，就比总腿数少了 10条腿。师：为什么？ 生：8只中有一些是兔，把它们算作是鸡了。 生：1只兔看作是1只鸡，就少算了 2条腿。 师：那我们要怎么办？生：要把鸡换成兔，因为这样腿数才能增加。师：替换之后，鸡兔总数会变化吗？生：不会。师：如果把鸡换成兔，求出来的结果是谁的只数？生：因为1只鸡换成1只兔，就会多2条腿，10除以2等于5,所以 耍5只兔去换鸡，求出来就是兔的只数。师：那鸡的只数你会求吗？生：8-5=3 o让学生列式解答，并说出每道算式的意义。假设全是兔（方法同上）总结：在假设法解题时，
12、如果假设全部都是鸡，先求出来的是谁的只 数？如果假设全部都是兔，先求出來的是谁的只数？【教学片段2】习题1：冇龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共冇112条。龟、鹤各冇 儿只？师：上面这个问题和“鸡兔同笼”问题有什么相似之处？生：鹤是2条腿，龟是4条腿。生：我们可以把鹤看作是2条腿的鸡，把龟看作是4条腿的兔。师：你会用鸡兔同笼问题的方法解答这道题吗？ 学生独立解答，集体评议。习题2：自行车和三轮车共10辆，总共冇26个轮子。自行车和三轮 车各有多少辆？师：这道题和鸡兔同笼问题有什么不同？生：这次变成了 2条“腿”的自行车和3条“腿”的三轮车了，腿的 条数变了。师：还可以用鸡兔同笼的方法来解答这道题吗？生：还可以用假设法解答。让学生独立解答，有困难时教师予以引导。（作者单位：湖北省红安县实验小学）
