《高校数学教学中几何学教学的若干思考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高校数学教学中几何学教学的若干思考（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高校数学教学中几何学教学的若干思考*吴炳惮（闽江学院数学系，福州350108）摘 要：本文结合作者多年儿何学教学与研究实践，就高校数学教学中的儿何学教学谈一些 粗浅的看法。关键词：数学；儿何学；高校几何学是现代数学的重要分支之一，几何学教学在数学教学中有着十分重要 的地位。笔者已在高校从事几何学教学与研究二十余年，对几何学知识在高等数 学中的地位与作用及几何学教学状况有着较清晰的认识与体会。本文结合笔者多 年几何学教学与研究实践，就高校数学教学中的几何学教学的现状以及教学改革 谈一些粗浅的看法，欢迎大家批评指正。一、几何学在数学知识结构中的地位与作用几何学是数学小最古老的分支之一（另一分支是数
2、论），它是随着生产实践 的需要而产生，随着生产的发展而发展起來的。早在三千多年以前，小国、埃及、 巴比伦及印度等文明古国的各民族就积累了丰富的生产经验，而II已经懂得并应 用着许多几何知识。在我国，从地下发掘出来的考古资料表明，十万年以前的骨 器上就刻有菱形的花纹，石器时代的各种工具也都具有一定的几何形状，殷代以 前的陶器上已有许多几何图案。这说明远古的劳动人民在生活和生产实践中逐步 形成了图形的概念。在埃及，公元前二千多年就已有许多高大的金字塔。这些金 字塔的工程之浩人，造型之精美，至今仍然令人叹服。这说明当吋已有精确的测 量技术和几何的计算。古希腊的数学家和历史学家认为埃及人的几何知识来源
3、于 士地的测量，因为在尼罗河每次泛滥之后，人们就得重新测定被河水冲毁的地界。“几何学” （Geometry）这个翻译名字，其原意就是“土地测量技术”。约公元前七世纪，希腊的经济文化已比其它民族繁荣昌盛得多。希腊和埃及 一海之隔，经常通商，埃及人的几何知识也随着经济的交往传入希腊。希腊人不 仅继续积累新的几何事实，并II开始采用特别的方法去创造理论，这种方法就是 我们现在用以叙述几何知识的基本方法演绎法（公理法）。古希腊几何学的 发展，与哲学的发展有着密切的联系。逻辑学创始人亚里士多德（Aristotle）曾 经指出，任何一种严密的科学体系都是从一些不能证明的原理开始的，否则所需 要的证明将无止
4、境地继续下去。亚里士多德所说的逻辑方法，就是我们现在在数 学中普遍应用的演绎法。这对当时的希腊几何学家欧几里得的历史巨著几 何原本有着重大的影响。欧几里得（Euclidean）是古希腊最伟大的一位几何学家。他在他的不朽名著 几何原本（以下简称原本）小，不仅非常详尽地收集了当时所他道的一切 几何学方而的资料，更重要的是他把这些非常分散的知识用逻辑推理的方法，编 排成一个系统的理论。他把几何学，依照亚里士多德所说的严密科学理论的耍求, 建筑在几个最初的假设（定义、公设、公理）基础丄，由这些假设利用逻辑推理 的方法（主要是分析法、综合法和反证法）导出后面的一切定理。因此，原本 不但在完善和充实丄大大
5、超过了在它以前的所有几何著作，并且在以后的两千余 年间依然没有几部几何著作可以和它媲美。直到现在，小学几何教材小的叙述方 法仍与原本没有多大实质性的差别。欧几里得是第一个提出几何根据的古代数学家，他叙述的方法是正确的，编 著的原本是伟大的。由于历史条件的局限性，不可避免地存在严重的缺陷。 尽管如此，它却有着巨大的历史意义。原本是几何学最早的经典著作，它是 在公理法的基础上逻辑地创造几何学的先例，为后代数学家指明了正确的方向。 特别是现代数学中处于统治地位的公理法，其来源就是欧几里得的原本。另 一方而，数学发展史丄两项奠定现代数学基础的重大发现坐标法与微积分， 也与几何学发展密不可分：前者实现了
6、代数与几何的辨证统一，血后者的诞生， 直接源于曲线切线的斜率及平而图形而积计算的需耍。随着坐标法与微积分的诞 生，几何学得到了前所未有的蓬勃发展，并产生了新的几何分支微分几何。 现代微分几何的基本研究对彖是流形，它是传统的实数空问或复数空间的推广。 几何学的基本原理与方法不仅渗透到现代数学许多分支，也广泛应用于物理学、 天文学等其他学科。从高等数学知识结构来说，它的基础建立在三大基础课程解析几何、 高等代数与数学分析Z上。而在高等代数与数学分析的知识结 构中，到处可以见到几何学的背景与应用，因此解析几何课程可以认为是基 础中的基础。我们说几何学是现代数学的基础，基于下而两点。其一，如上所说，现
7、代数 学中占统治地位的公理法源H几何，几何是使用公理法的鼻祖；几何基础的重要 性，诚如希尔伯特（Hilbert）所言：“数学中的公理方法和逻辑推理就象天文学家手 中的望远镜那样重要，是不能丢弃的其二，现代微分几何的研究对象流 形，已成为现代数学许多分支的工作空间，诚如己故几何学大师陈省身先生在微 分几何讲义一书的序言中所说的那样，“将来数学研究的对象，必然是流形”。 事实丄流形这一概念已经不仅仅是几何工作者必须掌握的基本概念，也是任何一 个数学工作者甚至于理论物理学者必需掌握的基础知识。因此几何学在数学知识 结构中有着十分重要而基础的地位。几何学教学在高校数学教学中的现状由于几何学在数学小的重
8、要血基础的地位，学好几何学对于学习、理解现代 数学起着至关重要的作用。就几何学教学在大学数学教学中的状况而言，上世纪 九十年代末Z前，几何学教学贯穿大学数学教学的始终：从大一的解析几何, 大二的高等几何，到大三的微分几何沢大四的几何基础、微分流形初 步等。从内容上说，解析几何以向量代数与坐标法为基本工具，讲述三维 欧氏空间中平而、直线及曲而、曲线的方程与基本性质，阐述了几何图形的代数 表示及代数方程的几何解释，是大学数学的基础；微分几何则是以微积分（主 要是微分）为工具，探讨三维空间及高维空间中曲线、曲而的局部与整体性质， 它可看成数学分析在几何学上的深化与应用，同时也是进一步学习现代微分 几
9、何的基础；血高等几何与几何基础的内容则与中学初等几何密切相关, 但在数学思想方法丄则要用到公理化体系以及变换群等现代数学概念，它们以初 等几何为载体，阐述高深抽象的现代数学思想。通过这两门课程的学习，既可以 深刻领会抽彖高深数学思想，又可以从更高的视野审视、理解初等几何，对提高 学生数学素养起着十分重要的作用，而这对于师范类学生尤英重要。另外，微 分流形初步作为研究生教材的先修课程，一般作为选修课，供准备考研、有志 于从事数学研究的学生选修。因此，这几门课程从基础理论到前沿研究基础，层 次分明，构成了大学几何学完整的课程体系。近年来，随着我国社会经济的发展，高等教育也得到迅猛的发展，规模不断
10、扩大，高等教育也由原先的精英教育转向大众化普及，在教学上也更加强调他识 应用性及实践能力。在课程设置丄，更加重视实践、实验课程及各项技能培训， 以适应H趋严峻的就业压力。与此同时，由于高年级学生实习、找工作等原因， 许多高校课堂教学时问缩短至三年半，甚至三年，这导致基础理论课的课时不断 压缩，在一定程度丄影响了理论课的教学效果；而数学基础不扎实，反过来也会 影响学生应用能力与长远发展。因此，如何科学处理基础理论课与实践、实验课 的关系是当前高校教学改革中的一个关键问题。就数学专业血言，H前许多高校基础理论课课时普遍压缩。尤其是几何学， 虽然解析几何由于其在数学知识结构中的基础性，大部分高校仍然
11、开设，但 也已有学校将它并入高等代数；而后续的几何课程基本都成选修课，实际在 许多高校已多年未能开课。诚如复旦大学李大潜院士在第五届大学数学课程报告 论坛所作特邀报告中所说：“现在大学数学教学中一个明显的结构性的缺失是几 何方面训练的严重削弱，导致学生几何知识短缺，几何观念薄弱，几何思想贫乏, 这是现在数学教学改革中应该引起来严重注意的问题”(2 O由于几何学在数学 知识结构中的基础性地位，可以预见，对数学专业学生而言，缺乏几何他识与几 何思想，其数学理论基础就不可能扎实，在此基础上也就不可能有较强的数学应 用能力与发展潜力。三、加强几何学教学的一些尝试笔者所在学校属于地方新建本科学校，几年前
12、数学专业实际开设的几何课程 只剩下解析几何。近年来我们在加强数学系学生几何学教学与训练丄采取了 一系列措施，成效明显。我们的主要措施包括以下几点：1、修订培养方案，对师范类学生将微分几何定为必修课，同时选用既 有经典理论，又有现代微分几何初步的教材。以经典理论部分作为主要的教学内 容，而现代微分几何初步部分作为选学内容。这样做一方面训练学生运用微积分 解决几何问题的能力，加强学生的数学素养，同时也为部分有兴趣的学生自学、 提高Z用，也为考研学生打下良好的数学基础。2、引导师范类学生选修高等几何，使学生能在更高的视野下审视小学初 等几何内容，为今后从事中学数学教学及组织中学数学竞赛等打下基础。我
13、们通 过举办几何学系列讲座，引导学生学生学习几何的兴趣，近两年我系全部师范生 均选修高等几何课程。3、改革传统教学手段，将传统教学方法和现代化教学手段结合起来。虽然 对于数学专业课程而言，其内容以代数运算与理论推导为主，教学手段宜以传统 的黑板加粉笔的方式为主，但是适当运用多媒体等现代化教学手段无疑可以提高 教学效果。对部份教学内容尤其是空间作图，使用多媒体课件有利于培养学生的 几何直观与空间想象力，激发学生的学习兴趣，提高教学质量。同时，现代化教 学手段的运用也可使教师省去一些不必要的抄写，这在一定程度上弥补了课吋不 足的问题。2008年解析几何获校精品课程立项，我们在课堂教学方法的改革上投
14、入 了大量的精力。在教学改革实践中，我们认识到，使用多媒体课件提高几何学教 学效果，关键在于制作好的课件，杨长避短，充分发挥多媒体课件书写规范美观、 富于变化、图形标准、信息量大等优点。利用多媒体课件，可以把教学内容编写 得更加规范、完整，并辅以适当的动态演示，穿插一些数学知识的延伸介绍及数 学家的小故事等，激发学生的学习兴趣。在课件软件的选择上，我们选用数学专 业软件TEX编写成PDF演示文档。与使用更普及的PPT文档相比，虽然PDF文档 在动画效果方面有所不足，但它在数学公式及绘图方面有着独特的优点：数学公 式整洁美观，图形准确且富于变化，维护简便。我们在实行教学方法改革后，受 到学生的欢迎，学生的学习兴趣与积极性明显提高，成效显著。经过以上一些措施，现在在我校数学系，师范类学生从大一到大三顺次学习 解析几何、高等几何与微分几何，数学专业学生几何学方面的结构性 的缺失的现象得到有效的改变。参考文献II陈省身，陈维桓.微分几何讲义（第二版）M.北京：北京大学出版社，2003. 李大潜.关于高校数学教学改革的一些宏观思考M大学数学课程报告论 坛论文集.北京：高等教育出版社，2009.
