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1、本资料来源于七彩教育网09届高三理科数学下册第二次考试 数学试卷（理科） 总分：150分 时量：120分钟 2009年4月5日联合命题由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中 隆回一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）.1集合的真子集的个数为 （ ）A3 B4 C7 D82复数（）2（其中i为虚数单位）的虚部等于 （ ）Ai B1 C1 D03设函数在区间上连续，则实数的值为 ( )A2 B1 C0 D34. 已知展开式中，各项系数的和
2、与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( )A. 135 B. 270 C. 540 D. 12155下面四个命题：“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是 ( )A B C D6已知，则 （ ）A2 B C1D07已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数，使= ，则三个角AOB，BOC，COA （ ）A都是锐角 B至多有两个钝角 C恰有两个钝角 D至少有两个钝
3、角。8由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ）A B C D 9双曲线 1的左右焦点分别为F1 F2，在双曲线上存在点P，满足PF15PF2。则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ）A B C D210f (x)是定义在(0,+)上的非负可导函数 ，且满足 ，对任意的正数a b ，若a b，则必有 （ ）Aa f (a)b f (b) Ba f (a)b f (b) Ca f (b)b f (a) Da f (b)b f (a)二、填空题:（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上）.11已知在平面直角坐标系中，O (0,0
4、), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足：01,01,则的最大值为12已知函数y=f(x),x1，1的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的的解集为 13已知1，则14若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为15已知抛物线的方程为，直线与抛物线交于A,B两点，且以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则弦AB的中点的轨迹方程为 ；当直线的倾斜角为时，圆的半径为 三、解答题:（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
5、.16（本小题满分12分）已知向量a(cos, sin), b(cos, sin), 且x0, .(1) 求ab及ab；(2)若f (x)= ab2ab的最小值为7, 求实数的值.17（本小题满分12分）某公司科研部研发了甲乙两种产品的新一代产品，在投产上市前，每种新一代产品都要经过第一和第二两项技术指标检测，两项技术指标的检测结果相互独立，每项技术指标的检测结果都均有A ，B两个等级，对每种新一代产品，当两项技术指标的检测结果均为A级时，才允许投产上市，否则不能投产上市。(1)已知甲乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为A级的概率如下表所示，分别求出甲乙两种新一代产品能投产上市的概率P
6、甲P乙；第一项技术指标第二项技术指标甲0.80.85乙0.750.8(2)若甲乙两种新一代产品能投产上市，可分别给公司创造100万元150万元的利润；否则将分别给公司造成10万元20万元的损失，在1）的条件下，用分别表示甲乙两种新一代产品的研发给公司创造的利润，求的分布列及EE.18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C面AA1C1C.1）求证：D点为棱BB1的中点；A1C1B1ACBA1D2）若二面角A A1D C的平面角为600，求的值。19（本小题满分13分）设正项数列的前项和为Sn，q为
7、非零常数。已知对任意正整数n, m，当n m时，总成立。1）求证数列是等比数列；2）若正整数n, m, k成等差数列，求证： 。20（本小题满分13分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（R）使等式：cossin成立。21（本小题满分13分）我们知道：函数yf (x)如果存在反函数yf -1 (x)，则yf (x)的图像与yf -1 (x)图像关于直线yx对称。若yf (x)的图像与yf -1 (x)的图像有公共点，其公共点却不一定都在直
8、线yx上；例如函数f (x)。（1）若函数yf (x)在其定义域上是增函数，且yf (x)的图像与其反函数yf -1 (x)的图像有公共点，证明这些公共点都在直线yx上；（2）对问题：“函数f (x)a x (a1)与其反函数f -1 (x)logax的图像有多少个公共点？”有如下观点：观点：“当a1时两函数图像没有公共点，只有当0a1时两函数图像才有公共点”。观点：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f (x)a x (a1)的图像与直线yx的公共点的个数，为此可构造函数F (x)a xx(a1)，然后可利用F (x)的最小值进行讨论”。请参考上述观点，讨论函数f (x)ax (a1)与其反函
9、数f -1 (x)logax图像公共点的个数。 数学试卷（理科）参考解答 题序12345678910答案ACACDBDBBC11. 4. 12. 1, )(0, ). 13. 。 14. 24. 15. （3分）、 （2分）。16.解：（1） a = (cos, sin), b = (cos, sin) ab cos cossin（ sin）cos cossin sincos（）cos2x 3分又易知：a1,b1 ab2 a 2b 22 ab 112 cos2x4cos2x ，且x0, ,ab2cosx. 6分（2) f (x) ab2abcos2x2(2cosx)2cos2x4cosx 12
10、(cosx)2221 8分若0，当cosx0时，f (x)取得最小值1，不合题意；若1，当cosx1时，f (x)取得最小值14，由题意有147，得2；若01，当cosx时，f (x)取得最小值221，由题意有2217，得(舍去)。综上所述：2。 12分17解： 1）由题意有： P甲 0.80.85 0.68 ； 3分P乙 0.750.8 0.6 。 6分2）随机变量的分布列分别是：10010P0.680.3215020P0.60.49分E 1000.68（10）0.32 64.8 ；E 1500.6（20）0.4 82 。 12分18解： 1）过点D作DE A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF EF。面DA1 C面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE A1 C直线DE面AA1C1C 3分又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF ，从而有EFAA1，又点F是AC的中点，所以DB EF AA1 BB1，A1C1B1ACBA1DHEFG所以D点为棱BB1的中点；
