《新教材21版数学必修1人A新教材学习方略5.4.2(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材21版数学必修1人A新教材学习方略5.4.2(一)（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一),必备知识自主学习,1.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有x+TD，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 .(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_，那么这个最小_就叫做f(x)的最小正周期.(3)本质：随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.(4)应用：函数的周期性是函数重要性质，是高考的常见考查知识点，在生活中也有很多的应用.,正数,正数,【思考】周期函数都有最小正周期吗？提示：周期函数不一定存在最小
2、正周期.例如，对于常数函数f(x)=c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.,2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,2,2,奇,偶,【思考】正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称.,【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)若 ，则 是函数y=sin x的一个周期.()(2)若存在正数T，使f(x+T)=-f(x)，则函数f(x)的周期为2T.()(3)函数y= 是奇函数.(),提示：(1).因为对任意x，sin 与sin x并不一定相等.(2).f(x+2T)=f(x+
3、T)+T=-f(x+T)=-f(x)=f(x)，所以f(x)的周期为2T.(3).函数y= 的定义域为x|2kx2k+，kZ，不关于原点对称，故非奇非偶.,2.函数f(x)= sin 2x为()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.f(x)= sin 2x的定义域为R，f(-x)= sin 2(-x)=- sin 2x=-f(x)，所以f(x)是奇函数.,3.(教材二次开发：例题改编)函数f(x)=cos 的最小正周期是_.【解析】令u= ，则cos =cos u是周期函数，且最小正周期为2.所以cos(u+2)=cos u，所以f(x)= 的最小正周期为4.答案：
4、4,关键能力合作学习,类型一求函数的周期(数学运算)【题组训练】1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=-1，则f(x)的周期为 ()A.2B.4C.6D.12.函数f(x)=sin 的周期为()A. B. C.D.23.函数f(x)=|cos x|的周期为_.,【解析】1.选B.因为f(x+2)f(x)=-1，所以函数f(x)是周期函数，4是一个周期.2.选C.因为所以周期为.,3.y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示， 由图象可知，y=|cos x|的周期为.答案：,【解题策略】求三角函数周期方法(1)定义法：找一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都有f(x+
5、T)=f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)公式法：将函数化为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式，再利用T= 求得；(3)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.,【补偿训练】下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 () 【解析】选D.对于D，x(-1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.,类型二三角函数奇偶性的判断(逻辑推理)【典例】1.函数y=sin 的图象() A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线 对称2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin
6、x)；(2)f(x)=,【思路导引】1.依据f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)推导函数的奇偶性，再根据奇偶函数的性质判断即可.2.先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则用定义判断函数的奇偶性.,【解析】1.选B.因为y=sin =cos x，又因为cos(-x)=cos x，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称.,2.(1)由 得-1sin x1，解得定义域为 所以f(x)的定义域关于原点对称.又因为f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x)，所以f(-x)=lg1-sin(-x)-lg1+sin
7、(-x)=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.,(2)因为1+sin x0，所以sin x-1，所以xR且x2k- ，kZ.因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.,【解题策略】函数奇偶性的判断方法(1)判断函数奇偶性应把握两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(-x)的关系.(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.,【跟踪训练】1.函数f(x)=cos 是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数【解析】选A.因为f(x)=cos =cos =sin ，所以
8、f(-x)=sin =-sin =-f(x).所以f(x)是奇函数.,2.若函数f(x)=sin(x+)(0)是R上的偶函数，则等于()A.0B. C. D.【解析】选C.因为f(x)=sin(x+)(0)是R上的偶函数，所以= +k，kZ.又因为0，所以= .,类型三三角函数周期性、奇偶性的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1三角函数周期性、奇偶性的判断【典例】下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()A.y=cos |2x|B.y=|sin 2x|C.y=sin D.y=cos 【思路导引】根据函数的图象判断选项A，B中函数的奇偶性，化简选项C，D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性.
9、,【解析】选D.y=cos |2x|是偶函数，y=|sin 2x|是偶函数，y=sin =cos 2x是偶函数，y=cos =-sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T=.,【变式探究】设函数f(x)=sin ，xR，则f(x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为 的奇函数D.最小正周期为 的偶函数,【解析】选B.因为sin =-sin =-cos 2x，所以f(x)=-cos 2x.又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x)，所以f(x)是最小正周期为的偶函数.,角度2三角函数周期性、奇偶性的应用【典例】定义在R上的函数f(x)既是奇函
10、数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x 时，f(x)=sin x，则f =()A.- B. C.- D. 【思路导引】先依据函数的周期为化简f ；再依据f(x)是奇函数及当x 时f(x)=sin x求值.,【解析】选C.因为f(x)的最小正周期为，所以f =f =f =f =f ，因为f(x)为奇函数，所以f =-f ，又因为当x 时，f(x)=sin x，所以f =-f =-sin =- .,【解题策略】利用周期性、奇偶性求函数值利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性求解.,【题组训练】1.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇
11、函数且f(1)=3，则f(5)=_.2.若函数f(x)是以 为周期的偶函数，且f =1，则f =_.,【解析】1.由已知得f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.答案：-32.f = 答案：1,【补偿训练】定义在R上的函数f(x)周期为，且是奇函数，f =1，则f 的值为()A.1B.-1C.0D.2【解析】选B.f =f =f =-f =-1.,课堂检测素养达标,1.函数f(x)= sin ，xR的最小正周期为()A. B. C.2 D.4【解析】选D.T= =4.2.(教材二次开发：练习改编)函数y=cos (xR)是()A.奇
12、函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法确定【解析】选A.y=cos =-sin x，所以此函数为奇函数.,3.函数y=4sin(2x+)的图象关于()A.x轴对称B.原点对称C.y轴对称D.直线x= 对称【解析】选B.y=4sin(2x+)=-4sin 2x，所以原函数为奇函数，所以原函数图象关于原点对称.,4.函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3，则f(8)=_.【解析】因为f(x)的周期为2，所以f(x+2)=f(x)，所以f(8)=f(2+32)=f(2)=3.答案：3,5.若f(x)是R上的偶函数，当x0时，f(x)=sin x，则f(x)的解析式为_.【解析】当x0，所以f(-x)=sin(-x)=-sin x，又f(-x)=f(x)，所以f(x)=-sin x，即f(x)= 答案：f(x)=,
