《ch1.3-古典概率模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch1.3-古典概率模型（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ch1.3 古典概率模型 国家精品课程 概率论与数理统计第一章第三节古典概率模型应用数理学院国家精品课程 概率论与数理统计I. 什么是古典概率模型 如果试验E 如果试验E满足 试验结果只有有限种， (1) 试验结果只有有限种， 每种结果发生的可能性相同。 (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型 等可能概率模型或 则称这样的试验模型为等可能概率模型或 古典概率模型，简称为等可能概型 等可能概型或 古典概率模型，简称为等可能概型或古典 概型。 概型国家精品课程 概率论与数理统计II. 古典概率模型中事件概率求法因试验E的结果只有有限种, 因试验E的结果只有有限种,即
2、样本点是有 限个: , 限个: 1,2 ,n ,其中 = =12 n, 是基本事件，且它们发生的概率都相等。 i是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是， 于是，有 1=P()=P( 1=P()=P(12 n) =P( )+P( )+P( =P(1)+P(2 )+P(n) =nP( i=1,2,n。 =nP(i), i=1,2,n。从而，P( 1/n,i=1,2,n 从而，P(i)= 1/n,i=1,2, n。国家精品课程 概率论与数理统计因此，若事件A包含k个基本事件， 因此，若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n。 P(A)=k(1/n)=k/n。 III. 古典概
3、模型的例 例1: 掷一颗均匀骰子， 掷一颗均匀骰子，设:A表示所掷结果为“四点或五点”; :A表示所掷结果为“四点或五点” 表示所掷结果为 表示所掷结果为“偶数点” B表示所掷结果为“偶数点”。 :P(A)和P(B)。 求:P(A)和P(B)。解： 由n=6,kA=2,得P(A)=2/6=1/3; n=6, =2,得P(A)=2/6=1/3; 再由k =3, P(B)=3/6=1/2。 再由kB=3,得P(B)=3/6=1/2。国家精品课程 概率论与数理统计货架上有外观相同的商品15 15件 其中12 货架上有外观相同的商品15件，其中12 例2: : 件来自产地甲, 3件来自地乙 现从15
4、件来自地乙。 15件商品 件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品 中随机地抽取两件, 中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率。 地的概率。解: 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种 15件商品中取出 商品,共有C =105种 件商品中取出2取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。 取法,且每种取法都是等可能的， n=105。 A=两件商品都来自产地甲 两件商品都来自产地甲,k 66, 令 A=两件商品都来自产地甲,kA= C212=66, B=两件商品都来自产地乙 两件商品都来自产地乙,k B=两件商品都来自产地乙,kB= C23 =3, 而事件: 两件商品
5、来自同一产地=AB, =AB,且 而事件:两件商品来自同一产地=AB,且A与 互斥, 包含基本事件数66+ 69。 包含基本事件数66 B互斥,AB包含基本事件数66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。 所求概率=69/105=23/35。国家精品课程 概率论与数理统计有外观相同的三极管6 例3:有外观相同的三极管6只,按其电流放大 系数分类,4只属甲类,2只属乙类。 系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种 ,4只属甲类,2只属乙类 方案抽取三极管两只, 方案抽取三极管两只, (1).每次抽取一个只,测试后放回, (1).每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取 每次抽取
6、一个只 下一只(放回抽样); 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只 测试后不放回, 每次抽取一只, (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样) 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。 设A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类 A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类 抽到两只甲类三极管,B= 三极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D= ,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽 三极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽 到两只不同类三极管 到两只不同类三极管。 求：P(A),P(B),P(C),P(D)。 P(A),P(B),P(C),P(D)。国家
7、精品课程 概率论与数理统计解: (1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是 (1).由于每次抽测后放回 因此, 由于每次抽测后放回,在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一 只三极管中抽取。因第一次从6 共有6种可能取法；第二次还是从6 只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取 一只,还是有6种可能取法。 一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管 共有66=36 种可能的取法。从而,n=36。 共有6 种可能的取法。从而,n=36。 ,n=36注意: 注意:这种分析方法使用的是中学学过的乘法原理国家精品课程 概率论与数理统计因每个基本事件发生的可能性相同, 因每个基本事件发生的可能性相同,
8、第一 次取一只甲类三极管共有4种可能取法, 次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 所以, 所以,取两只甲类三极管共有 44=16 种可能 的取法, =16。 的取法, 即kA=16。故 P(A)=16/36=4/9; P(A)=16/36=4/9; E=抽到两只乙类三极管 抽到两只乙类三极管,k =22=4。 令E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4。故 P(E)=4/36=1/9; 的对立事件， P(C)=1-P(E)=8/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9; ,且 互斥, 因B
9、= AE ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9; P(B)=P(A)+P(E)=5/9; 的对立事件, P(D)=1-P(B)=4/9。 D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。国家精品课程 概率论与数理统计由于第一次抽测后不放回,因此, (2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次 从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次 只中取一只,共有6种可能的取法； 是从剩余的5只中取一只, 种可能的取法。 是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n=6 n=6 由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30 种可能的取法。 种可能
10、的取法。 由乘法原理, =4 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5;=21=2, kE=21=2,P(E)=2/30=1/15; 的对立事件, P(C)=1-P(E)=14/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15; B=AE,且 互斥, 由B=AE,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15; P(B)=P(A)+P(E)=7/15; 的对立事件, P(D)=1-P(B)=8/15。 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。国家精品课程 概率论与数理统计例4:n个球随机地放入N(Nn)个盒子中,若盒 个球随
11、机地放入N(Nn)个盒子中, N(Nn)个盒子中 子的容量无限制。 每个盒子中至多有一球” 子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球” 的概率。 的概率。解: 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,故每个球有N种放法。由乘法原理, 故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放 个盒子中共有N 种不同的放法。 入N个盒子中共有Nn种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法( 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法 原理得): N(N-1)(N (N原理得): N(N-1) (N-n+1)=ANn 种。 故，P(A)= ANn/Nn。国家精品课程 概率论与
12、数理统计许多问题和上例有相同的数学模型。 许多问题和上例有相同的数学模型。 例如(生日问题 某人群有n个人 例如 生日问题): 个人，他们中至少有两 生日问题 某人群有 个人， 人生日相同的概率有多大？ 人生日相同的概率有多大？ 设每个人在一年( 365天计) 设每个人在一年(按365天计)内每天出 天计 生的可能性都相同,现随机地选取n(n365) 生的可能性都相同,现随机地选取n(n365) 个人, 个人,则他们生日各不相同的概率为 A365n/365n。 于是, 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率 为 1- A365n/365n。 (请打开 请打开P14 表1.3.1) 请打开国家
13、精品课程 概率论与数理统计公式 把n个物品分成k组,使第一组有n1个, 个物品分成k 使第一组有n 第二组有n 组有n 第二组有n2个, ,第k组有nk个,且 , n= n1+ n2+nk 。 +n 则:不同的分组方法有n ! n !n ! n ! 1 2 k种。国家精品课程 概率论与数理统计例5: 某公司生产的15件品中,有12件是正品,3 某公司生产的15件品中, 12件是正品,3 15件品中 件是正品 件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中, 件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每 箱装5 :A=每箱中恰有一件次品 每箱中恰有一件次品, 箱装5件，设:A=每箱中恰有一件次品, B=三
14、件次品都在同一箱中 三件次品都在同一箱中 B=三件次品都在同一箱中。 P(A)和P(B)。 求: P(A)和P(B)。 15件产品装入 个箱中,每箱装5 件产品装入3 解: 15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有15!/(5!5!5!)故 种等可能的装法。 种等可能的装法。 , 基本事件总数有 个。15!/(5!5!5!)国家精品课程 概率论与数理统计把三件次品分别装入三个箱中,共有3! 3!种 续: 把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种 装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12 装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12 件正品再平均装入3个箱中,每箱装4 件正品再平均装入3个箱中
15、,每箱装4件,有1 !/(4 4 4 ) 种 法 2 ! 装 ,再由乘法原理, 再由乘法原理,可知装箱总方法数有3!12!/(4 !4!4 ) 种 ! 。个基本事件。 即A包含 3!12!/(4!4!4! ) 个基本事件。 从而， 从而，12 ! 15 ! 25 P(A = 3 ) ! = 。 4 4 4 5 5 5 91 ! !国家精品课程 概率论与数理统计把三件次品装入同一箱中,共有3种装法. 续: 把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这 样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装 样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装 12 个箱中(一箱再装2 另两箱各装5 入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有12 /(2 5 5 ) 种 法 ! ! 装 。由乘法原理， 由乘法原理，知装箱方法共有31 !/(2 5 5 ) 种 2 ! 。即B包含 312 /(2 5 5 ) 个基本事件。故， ! ! ! ! 个基本事件。1! 2 1! 5 6 P B = 3 ( ) = 。 255 555 ! ! 9 1国家精品课程 概率论与数理统计件
