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1、 第二章 三、 无穷大 四 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 2.3无穷小与无穷大二、 无穷小的性质 当一、 无穷小定义1 . 若时, 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小 .时为无穷小.（或时为无穷小 ）.说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 其中，X 可代表x0, x0+, x0-, .其中 为时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证 .时, 有二、 无穷小的性质性质1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因
2、此这说明当时,为无穷小量 .说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 性质2有界变量与无穷小的乘积是一个无穷小证只证 时的情形。 设当 时，f (x)是 有界量， (x)是无穷小。 由f (x)是有界量知 当 时， 由 知， 对于 来说， 当 时， 取 于是当 时， 这就证明了当xx0时， (x)f(x)为无穷小量。 推论1常数与无穷小的乘积为无穷小.推论2有限个无穷小的乘积为无穷小三、 无穷大定义2 . 若当xX 时,当xX 时是无穷大，则称函数f(x) 其中，X可代表x0, x0+, x0-, .记作|f(x)|,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如, 函数但不是无穷大 !但f (x)无界 . 注意:四、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:定理2说明，无穷大与无穷小之间的关系类似于倒数关系例1. 求解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系思考与练习求
