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1、第12章 梁的应力, 梁横截面的正应力和正应力强度条件,梁横截面的切应力和切应力强度条件, 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析,提高梁承载能力的措施,.纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无切应力的弯曲）。,剪力“Fs”切应力“t ”；弯矩“M”正应力“s ”,2.横力弯曲（剪切弯曲）,梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有切应力的弯曲）。,一、 纯弯曲和横力弯曲的概念, 梁横截面的正应力和正应力强度条件,二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式,（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。,1、观察实验：,2、变形规律：,(2)、横向线
2、：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。,(1)、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。,3、假设：,（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层 。,中间层与横截面的交线中性轴,（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。,梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等
3、高度的一层纤维的变形完全相同。,4、纵向线应变的变化规律 （纵向线段的变化规律）,中性层曲率半径,横截面上各点的纵向线应变与它到中性轴的距离成正比,4、纵向线应变的变化规律 （纵向线段的变化规律）,在弹性范围内，,（二）物理关系：,横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化,中性层曲率半径,梁弯曲时横截面上正应力分布图：,中性轴的位置？,中性层,横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化,（中性轴 z 轴为形心轴）,（y 、z 轴为形心主轴）,弯曲变形计算的基本公式,（三）、静力平衡条件 由横截面上的弯矩和正应力的关系 正应力的计算公式。,梁横截面上内力已知：,纯弯曲时梁横截面上正应力的计
4、算公式。,弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当 M 0 时，下拉上压； 当 M 0 时，上拉下压。,将上式代入式 得：,弯曲变形计算的基本公式,反映梁变形的剧烈程度,中性轴 z 为横截面的对称轴时,称为截面的抗弯截面系数,梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方,纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式,中性轴 z 不是横截面的对称轴时,M,纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式：,几种简单截面的抗弯截面系数, 矩形截面, 圆形截面, 空心圆截面,(4) 型钢截面：参见型钢表,式中,几种简单截面的抗弯截面系数,三、纯弯曲理论的推广,横力弯曲时1、由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲；2、
5、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。,纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式,实验和弹性理论的研究结果表明： 对于细长梁（跨高比 l / h 5 ），剪力的影响可以忽略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,弯曲正应力公式,可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆),例：厚为t = 1.5 mm的钢带，卷成直径D3m 的圆环。 。求：钢带横截面上的最大正应力,解：1）研究对象：单位宽条,2）曲率公式：,3）求应力：,例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：,10槽钢,解：1）画弯矩图,2）查型钢表：,3
6、）求最大拉、压应力应力：,四、梁的弯曲正应力强度条件,材料的许用弯曲正应力,中性轴为横截面对称轴的等直梁,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,M,弯曲正应力强度条件,解：1、求约束反力,例：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s =160MPa, 求：Fmax,M max = 0.5F,3、强度计算,2、画M图，求Mmax,M,解：1)求约束反力,例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t = 30 M Pa， c = 60 M Pa.其截面形心位于C点，y1= 52 mm， y2= 88 mm，Iz =763 cm4 ，试校核此梁的强度。
7、,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,2）画弯矩图 定危险截面,3）求应力,B截面（上拉下压）,M,C截面（下拉上压）,为什么？,C截面（下拉上压）:,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,4 ) 强度校核,46.2MPa,27.3MPa,28.2MPa,B截面（上拉下压）:,最大拉、压应力不在同一截面上,结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,M,M,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力
8、 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。,解：,根据截面最为合理的要求,得,截面对中性轴的惯性矩为,例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。,梁上的最大弯矩,最大压应力为,梁满足强度要求。,例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MP
9、a。试求梁的许可荷载F 。,解：1、梁的支反力为,2、作梁的弯矩图如下,发生在截面C,发生在截面B,例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试求梁的许可荷载F 。,3、计算最大拉、压正应力,可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,C截面,B截面,压应力,拉应力,拉应力,压应力,考虑截面B ：,考虑截面C：,因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,2 梁横截面的切应力和切应力强度条件,一、 矩形截面梁横截面上的切应力,1、假设： 横截面
10、上各点的切应力方向与剪力的方向相同。, 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力 大小相等）。,2、公式推导,x,d,x,图a,A,由切应力互等定理可知,注意：Fs为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对 z 轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽度； 为所求点对应位置以外的面积对中性轴 z 的静矩。,3、矩形截面切应力的分布：,t 沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处 ( y=0 )；(3)上下边缘处（y=h/2)，切应力为零。,二、非矩形截面梁圆截面梁,切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称；与 y
11、轴相交各点处的切应力其方向与 y 轴一致。,关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离 y 的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点 ；2、这些切应力沿 y方向的分量 ty 沿宽度相等。,y,最大切应力t max 在中性轴处,1、工字形薄壁梁,假设 : t / 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布,腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。,下侧部分截面对中性轴 z 的静矩,三、薄壁截面梁,2、盒形薄壁梁,3、薄壁环形截面梁,薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1) d r0沿壁厚切应力的大小不变；(2) 内、外壁上无切应力切应力的方 向与圆周相切；(3) y 轴是对称轴 切应力分布与 y 轴 对称；
12、与 y 轴相交的各点处切应力 为零。,最大切应力tmax 仍发生在中性轴z上。,薄壁环形截面梁最大切应力的计算,4、薄壁截面梁翼缘上的切应力,计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力,(1) 平行于y 轴的切应力,可见翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担,(2) 垂直于 y 轴的切应力,欲计算切应力的点到截面端部（t = 0 处)这部分截面的面积对中性轴的静矩欲求切应力值的点所在位 置的壁厚,翼缘上垂直于y 轴的切应力随 按线性规律变化。,通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。,弯曲正应力与弯曲切应力比较
13、,当 l h 时，smax tmax,四、梁的切应力强度条件,一般 tmax发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，则 tmax 所在点处于纯剪切应力状态。,梁的切应力强度条件为,对等直梁，有,材料在横力弯曲时的许用切应力,弯曲切应力的强度条件,1、校核强度2、设计截面尺寸3、确定外荷载。,需要校核切应力强度的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力强度;,梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核切应力强度;,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。,解：、画内力图求危险面内力,例、矩形截面 (bh=0.12m0
14、.18m）木梁如图， =7 M Pa， =0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,求最大应力并校核强度,求最大应力并校核强度,应力之比,解：1、画Fs、M图,FAY = 112.5 kN ；FBY = 97.5 kN,2、按正应力确定截面型号,查表选36c型号,3、切应力校核,4、结论：选36c型号,112.5kN,52.5kN,97.5kN,158.4kNm,112.5,M,例：截面为三块矩形截面组成(胶合成一体)的梁,t 胶 =3.4MPa，求：Fmax及此时的smax。若截面为自由叠合，smax的值又为多大。,F,解：1、确定 Fsmax,2、确定smax,
15、3、自由叠合时的smax,x,x,Fs,M,F,-F*1,例：图示梁上作用有一移动载荷，已知其截面为矩形 h/b=3/2，s=10MPa ，t =3MPa，求：b、h,A,B,F=40kN,解：1、按正应力强度确定,2、按切应力强度确定,例：如图所示工字型截面梁，已知 s=180MPa,t =100MPa试：全面校核（主应力）梁的强度。,解：1、画内力图,100kN,100kN,32kNm,x,x,M,Fs,2、最大正应力校核,( 上、下边缘处 ),3、最大切应力校核,( 中性层轴 ),例：如图所示工字型截面梁，已知 s=180MPa,t =100MPa试：全面校核（主应力）梁的强度。,K,4
16、、主应力校核（K截面翼缘和腹板交界处B点）,例：如图所示工字型截面梁，已知 s=180MPa,t =100MPa试：全面校核（主应力）梁的强度。,K,主应力校核（翼缘和腹板交界处）,结论满足强度要求。,例：如图所示工字型截面梁，已知 s =180MPa, t =100MPa试：全面校核（主应力）梁的强度。,梁的合理截面,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为,强度：正应力：,剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,返 回,返 回,工字形截面与框形截面类似。,返 回,返 回,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,2、根据材料特性选择截面形状,返 回,（二）采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,
