《20.带电粒子在有界磁场中运动的临界问题-11页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20.带电粒子在有界磁场中运动的临界问题-11页（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧湖北省恩施高中陈恩谱带电粒子 （质量 m、电量 q 确定） 在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表） ，磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10 类（25C） ，并可归并为6 大类型。所有这些问题，其通用解法是：第一步
2、，找准轨迹圆圆心可能的位置，第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5 画个轨迹圆） ，第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定）这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。【例 1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子 (不计重力 )，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A使粒子的速度v5Bq
3、L4mC使粒子的速度vBqLmD使粒子的速度BqL4mv5BqL4m时粒子能从右边穿出粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O 点，有r2L4由r2mv2Bq，得v2BqL4m，所以 v0，0 x0，xa 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在 O 点处有一小孔， 一束质量为m、带电量为 q（q0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上， 使荧光屏发亮。 入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值已知速度最大的粒子在0 xa 的区域中运动的时间之比为2： 5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中 T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周
4、运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。【分析】 粒子在 0 xa 的区域，由对称性可知，粒子在xa 的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a 直线上，在x=2a 直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆 为半径最小的情况，轨迹圆为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。【答案】竖直屏上发亮的范围从0 到 2a，水平屏上发亮的范围从2a 到2 323xaa【解答】粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中运动半径为：mvrqB速度小的粒子将在xa 的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y 轴上，半径的范围从0到 a，屏上发亮的范围从0到 2a。轨道半径大于a
5、 的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况， 这种粒子在右侧的圆轨迹与x 轴在 D 点相切 （虚线） ， OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成， 圆心分别为C 和C， C 在 y 轴上，有对称性可知C在 x=2a 直线上。设 t1为粒子在 0 xa 的区域中运动的时间，由题意可知图乙图甲a 2a 2a a x 1225tt，12712Ttt由此解得：16Tt1512Tt由 式和对称性可得60OCM6 0M CN53 6 01 5 012MC P所以1506090NC P即弧长 NP 为1/4圆周。因此，圆心C在 x 轴上。设速度为最
6、大值粒子的轨道半径为R，有直角COC可得2sin602Ra2 33Ra由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标2 323xaa【易错提醒】 本题容易把握不住隐含条件所有在 xa 的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a 直线上 ，从而造成在xa 的区域内的作图困难；另一方面，在xa 的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆半径开始取值，致使轨迹圆未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x=a。类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小） ，但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上所谓“圆心圆”，是指以入射点为圆心，以mvrqB为半径的
7、圆。【例 2】如图所示， 在 0 xa、0y2a范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0 090范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到 a 之间， 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。【分析】 本题给定的情形是粒子轨道半径r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹
8、圆都要经过入射点O，入射点O 到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆” 以入射点O 为圆心、 r 为半径的圆周上（如图甲）。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起 取“圆心圆”上不同点为圆心、r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹 对应弦长大于轨迹对应弦长 半径一定、圆心角都较小时（均小于180） ，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长故轨迹 对应圆心角为90。【答案】66(2)(2)22aqBRavm6-6，sin=10【解答】 设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：图乙图甲2vqvBmR，解得：mvR
9、qB当 a/2Ra 时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为 C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意， t=T/4 时， OCA=/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：sinsincos2aRRRaR，且22sincos1解得：66(2)(2)22aqBRavm6-6，sin=10【易错提醒】由于作图不仔细而把握不住“轨迹 对应弦长大于轨迹对应弦长 半径一定、圆心角都较小时（均小于180 ） ，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长”，从而误认为轨迹对应粒子在磁场中运动时间最长。这类题作图要讲一个小
10、技巧按粒子偏转方向移动圆心作图。【练习 2】如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。在t=0 时刻，一位于ad 边中点 O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 Od 边的夹角分布在0180 范围内。 已知沿 Od 方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd 上的 p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q/m；（2）假设粒子源发射的粒子在0180 范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；（3）从粒子发射到全部
11、粒子离开磁场所用的时间。【分析】 以 L 为半径、 O 点为圆心作“圆心圆” （如图甲）； 由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起 （轨迹 ） ，在 “ 圆心圆 ” 取不同点为圆心、以L 为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹 与轨迹对称，在磁场中运动时间相同；轨迹并不经过 c 点，轨迹 对应弦长短于轨迹对应弦长即沿轨迹运动的粒子最后离开磁场。pabcdOO3pabcdOpabcdO图甲图乙O1O2O4OyxCRDAaPv【答案】06Btmq，5/6 ，0)45arcsin12(tt【解答】（1）初速度沿Od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为n，由几何关系有：6Onp, 12
12、0Tt粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得RTmBqv2)2(，TRv2得06Btmq(2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O 点距离相等。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O 为园心， Op 为半径的弧pw 上。由图知56pOw此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6 （3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b 点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为 ，则452sin在磁场中运动的最长时间045arcsin122tTt所以从粒子发射到全部离开所用时间为0)45arcsin12(tt。【易错提醒】 本题因作图不认真易错误地认为轨迹经过c 点，认为轨迹对应
13、弦长等于轨迹对应弦长，于是将轨迹对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算；虽然计算出来结果正确，但依据错误。类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小（即未知半径大小）和方向这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。【例 3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向外，大小为 B，沿 x 轴放置一个垂直于xOy 平面的较大的荧光屏，P 点位于荧光屏上，在y 轴上的 A 点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量 +q 的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上
14、，已知OAOPl，求：（1）若能打到P 点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【分析】 粒子既经过A 点又经过P 点，因此AP 连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM 上（如图甲）。在 OM 上取不同点为圆心、以圆心和A 点连线长度为半径由小到大作出一系列圆（如图乙），其中轨迹 对应半径最小，而轨迹对应粒子是O1点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。O2O1O1图图MMOPabcdnWOabcdY【答案】（1）v22qBlm， （2）32mtqB【解答】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v 时
15、，其在磁场中的运动半径为 R，则由牛顿第二定律有：qBv m2vR若粒子以最小的速度到达P 点时，其轨迹一定是以AP 为直径的圆 （如图中圆O1所示）由几何关系知：sAP=2lR222APsl则粒子的最小速度v22qBlm（2）粒子在磁场中的运动周期T2 mqB设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为 ，则粒子在磁场中的运动时间为：2mtTqB由图可知， 在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆O2所示，此时粒子的初速度方向竖直向上，则由几何关系有：32则粒子在磁场中运动的最长时间：32mtqB【练习 3】图中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线.在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B
16、 的匀强磁场，方向垂直纸面向外，O 是 MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为+q，质量为 m，速率为v 的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向， 已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇 .P 到 O 的距离为 L，不计重力及粒子间的相互作用.(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径.(2)求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔.【分析】 如图甲，作OP 连线中垂线，然后在中垂线上取关于C 对称的两点O1、O2为圆心过O、P 作出两个轨迹圆 ，如图乙所示。保留相遇前轨迹如图丙所示。【答案】（1qBmvR，（2）)2arccos(4mvLqBqBmt【解答 】 （1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得RvmqvB2，则qBmvRx P MNOMMNOP MOOP P 图乙图甲NN图丙C C C O1O2O1O2（2）如图所示，以OP 为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P 点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为 O1、O2，过 O 点的直径分别为OO1Q1、 OO2Q2，在 O 点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用表示它们之间的夹
