《(完整版)概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20 万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5 万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分布律。解：设 X 为公司的赔付金额，X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20 ）=0.0002X0520P0.99880.00100.00022.(1) 一袋中装有5 只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X 表示取出的三只中的最
2、大号码，写出随机变量的分布律.解：方法一 : 考虑到 5 个球取 3 个一共有 C53=10 种取法，数量不多可以枚举来解此题。设样本空间为SS=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得， P X=3=110；PX=4 =310；PX=5=610；方法二： X 的取值为 3,4,5当 X=3 时， 1 与 2 必然存在，PX=3= C22C53=110;当 X=4 时， 1,2,3 中必然存在2 个，PX=4= C32C53=310；当 X=5 时， 1,2,3,4 中必然存在2 个，P X=5= C42C53=610；(2)将一颗骰子抛掷两次，以X
3、 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律 .解： PX=1 = P (第一次为1 点)+P（第二次为1点） - P（两次都为一点）= 16+16-136=1136；P X=2= P (第一次为2 点，第二次大于1 点)+P（第二次为2 点，第一次大于1 点）- P（两次都为2 点）= 1656+1656-136=936；P X=3= P (第一次为3 点，第二次大于2 点)+P（第二次为3 点，第一次大于2 点）- P（两次都为3 点）= 1646+1646-136=736；X345Pk1/103/106/10X345Pk1/103/106/10PX=4 = P (第一次为4 点，第二次大
4、于3 点)+P（第二次为4 点，第一次大于3点） - P（两次都为4 点）= 1636+1636-136=536；PX=5 = P (第一次为5 点，第二次大于4 点)+P（第二次为5 点，第一次大于4点） - P（两次都为5 点）= 1626+1626-136=336；P X=6= P (第一次为6 点，第二次大于5 点)+P（第二次为6 点，第一次大于5 点）- P（两次都为6 点）= 1616+1616-136=136；X123456Pk11/369/367/365/363/361/363.设在 15 只同类型的零件中有2 只是次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样.以 X
5、表示取出的次品的只数.(1)求 X 的分布律 .解： PX=0 = C133C153=2235;PX=1 = C13 2C21C153=1235;PX=2 = C131C22C153=135;X012Pk22/3512/351/35(2)画出分布律的图形.4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为p，失败概率为q=1-p（0p3,即P(X 3) = 1 - P(X 3) = 1 -P(X = 0) -P(X = 1) -P(X = 2) -P(X = 3) =1 - ?-4- 4?-4-42?-42!-43?-43! =1 -713?-4= 0.566513.某公安局在长度为t 的时间间隔内收
6、到的紧急呼叫的次数X服从参数为（ 1/2 ）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12 点至下午3 点未收到紧急呼叫的概率；（2）求某一天中午12 点至下午5 点至少收到1 次紧急呼叫的概率。解：(1) 设某一天中午12 点至下午3 点未收到紧急呼叫的概率为P，时间间隔长度t=3 ，依题意有P(X = 0)=(?2)?-?2?!=(32)0?-320!= ?-32= 0.2231(2) 依题意，即X1，时间间隔长度t=5 ，则 P (X 1) = 1 - P( X = 0) = 1 -(?2)?-?2?! = 1 -(52)0?-520! = 1 -?-52
7、= 0.917914. 某人家中在时间间隔t （小时）内接到电话的次数X服从参数为2t 的泊松分布。（1）若他在外出计划用时10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5 ，问他外出应控制最长时间是多少？解：(1) 设其间有电话铃响一次的概率为P，t=1/6 ，依题意有P( X = 1) =(2?)?-2?!=(13)1?-131!=13?-13= 0.2388(2) 外出时没有电话的概率至少为0.5, 即为 P(X = 0)0.5 P (X = 0) =( 2? )?-2?!=( 2? )0?-2?0!0.5即 ?-2?0.5求解得 t 12ln
8、 2 = 0.3466（小时）即外出时间不得超出20.79 分钟 .15.保险公司在一天内承保了5000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3 万元。 设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30 万元的概率（利用泊松定理计算） 。解：设投保人在一年内死亡人数为X,则 Xb （5000,0.0015） ，若公司赔付不超过30 万元，则死亡人数不该超过303=10 个人，PX10=(?5000?)(0.0015)?(0.9985)5000-?10?=0根据泊松定理，=np=500
9、00.0015=7.5PX10 7.5?-7.5?!10?=0= 0.8622 .16.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001。在某天的该时间段内有1000 辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于2 的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为X，则 Xb（1000,0.0001） ，所求为 PX2 =1-PX=0-PX=1.其中，根据泊松定理，=np=10000.0001 = 0.1.PX=k =?(1 - ?)?-?-?!.所以， PX 2=1-P X=0-PX=1 1-?-0.1-?-0.10.1 = 0.
10、0047.17.（1）设 X 服从（ 0-1）分布，其分布律为PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求 X 的分布函数，并作出其图形。（2）求第 2 题（ 1）中的随机变量的分布函数。解：（1）X 服从（ 0-1）分布，即，当X=0，?= 1 - ? ；当 X=1，?= ?.当 x0,F(x)= 0;当 0 x1,F(x)=1-p;当 x1,F(x)=(1-p)+p=1.X 的分布函数为 F(x) = 0, x 01 - ?, 0 ? ? 11, x 1，（2）第 2题 (1)中， X 的分布律为所以，当X 3，F(x) = 0;3 ? X 4，F(x) = 0.1;4? X 0，0，?
11、 0.求下列概率：（1）P至多 3 分钟 . （2）P至少 4 分钟 . （3）P3 分钟至 4 分钟之间 . （4）P至多 3 分钟或至少4 分钟 . （5）P恰好 2.5 分钟 . 解： （1）P至多 3 分钟 =PX 3= ?（3） =1-?-0.4?3 =1- ?-1.2（2）P至少 4 分钟 =PX 4=1-PX 4=1- ?（4）=?-0.4?4=?-1.6（3）P3 分钟至 4分钟之间 =P3 X 4=?（ 4）- ?（3）= （1- ?-0.4?4）-（1- ?-0.4?3）=?-1.2- ?-1.6（4）P至多 3 分钟或至少4分钟 =PX 3UX 4=PX3+PX 4=（
12、1-?-1.2）+?-1.6=1+?-1.6- ?-1.2（5）P恰好 2.5 分钟 =PX=2.5=0 20. 设随机变量X的分布函数为 ?（x）=0，?，1?，1 ?，1，?.（1）求 PX2 ，P0 X3， P2X2.5. （2）求概率密度?（x）. 解： （1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得PX2= ?（2）=ln2 P0X 3=?（ 3）- ?（0）=1-0=1 P2X 2.5= ?（2.5 ）- ?（2）=ln2.5-ln2=ln1.25 （2）根据概率密度的定义可得?（ x）=?（x ）?=1?，1?0，其他21. 设随机变量X的概率密度为（ 1）f （x）=2 (
13、1 -1?2)，1 ?20，其他.（ 2）f （x）=?，0 ?1，2 - ?，1 ?2，0，其他求 X的分布函数F（x） ，并画出（ 2）中 f （x）及 F（x）的图形 . 解： （1）F（ x）=P（Xx）=?（?）?- 当 x1 时， F（x）=0?- =0 当 1x2 时， F（x）=0?1- + 2 (1 -1?2) ?1 =2 （x+1? -2 ）当 2x 时， F（x）=0?1- + 2 (1 -1?2) ?21+ 0?2 =1 故分布函数为F（x）=0，?12 (?+1? -2)，1 x 21，?2（2）F（x）=P（Xx）=?（?）?- 当 x0 时， F（x）=0?- =
14、0 当 0 x1 时， F（x）=0?0- + ?0 =?22当 1x2 时， F（x）=0?0- + ?10+（2 -?）?1=2x- ?22 -1 当 2x 时， F（x）=0?0- + ?10+（2 -?）?21+ 0?2 =1 故分布函数为F（x）=0，?0?22，0 x12? - ?22 -1，1 x21，2 ?F（ x）和 F（x）的图形如下22.（1）分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell ）分布，其概率密度为：f（x）=?2?-?2/?， ? 0,0, 其他 .其中 b=m/(2kT) ，k 为玻尔兹曼常数，T 为绝对温度， m 是分子的质量，试确定常数A。（ 2）
15、研究了英格兰在1875 年1951 年期间，在矿山发生导致不少于10 人死亡的事故的频繁程度。得知相继两次事故之间的时间T（日）服从指数分布，其概率密度为?（t）=1241?-?/241， ? 0,0, 其他 .求分布函数F(t)，并且求概率P（50T100） .（1）解：由题意可知? (? )?- = 1,可得 ? ( ? ) ?- = 0?0- + ?2?-?2/?0=-A?2?-?2?|0+?2 ?-?2?0不妨令 ? ?= ?则原式可写为Ab ?2 ?-?2? =?4 ?0由此可得A=4? ?（2）解：当 t0 时， ?( t) = ?(t)dt = 0? + 1241?-?/241?
16、 = 1 - ?-? 241?0?- ?- 故所求的分布函数为?（t）=1 -?-? 241?， ? 0,0, 其他 .而 P50T 1000,0, 其他 .现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立），任取 5 只，问其中至少有2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于1500h 的概率为P=1000?2? = -1000?|1500=231500任取 5 只这种器件，其中寿命大于1500 小时的只数记为X，则 Xb(5，2 3? ).故所求概率为PX2=1-PX=0-PX=1=1 -(1 -23)2- ?5123(1-23)4=23224324.设顾客在某银行的窗口等待服务时间X(min)服从指数分布，其概率密度为?(x)=15?-?/5, ? 0,0, 其他 .某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5 次，以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P(Y 1).解：顾客在窗口等待服务超过10min 的概率为P= ?(x)10? = 15?-? 5? = ?-210故顾客去银行一次因未等到
