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1、单元质量检测(二)一、选择题1集合A(x，y)|yx2，xR，B(x，y)|yx，xR，那么集合AB中的元素个数为()A0B1C2 D无穷解析：集合中表示的元素为点，元素分别在抛物线yx2及直线yx上，而直线yx与抛物线yx2有两个交点，AB中元素的个数为2.答案：C2函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析：f(x)x的定义域为 (，0)(0，)，且f(x)(x)(x)f(x)，f(x)为奇函数，因此，f(x)x的图象关于坐标原点对称答案：C3设a2，b2，clogx(x20.3)(x1)，那么a，b，c的大小关系是()Aabc BbacCcba
2、Dbca解析：a2201，1a1，clogx(x20.3)logxx22，cab.答案：B4函数f(x)lgx的大致图象是()解析：f(x)lgxlg是偶函数，A、B不正确又当x0时，f(x)为增函数，D不正确答案：C5设函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，那么f(x)0有()A分别位于(1,2)，(2,3)，(3,4)内三个根B四个实根xii(i1,2,3,4)C分别位于(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)内四个根D分别位于(0,1)，(1,2)，(2,3)内三个根解析：用数轴穿根法画出f(x)的图象，如右图：根据导函数的值与原函数的单调性之间的关系可知A选项正确答案：A
3、6曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B2e2Ce2 D.解析：yex，y|x2e2k，切线为ye2e2(x2)，ye2xe2的图象与坐标轴围成的图形如右图所示|OA|1，|OB|e2，SAOBe21.答案：D7x0，y0，x3y9，那么x2y的最大值为()A36 B18C25 D42解析：由x3y9，得y30，0x9.将y3，代入ux2y，得ux2(3)3x2.ux26xx(x6)令u0，得x6或x0.当0x0；6x9时，u0.当x6时，u取极大值又x0时，u0，当x9时，u0.x6时，ux2y取最大值36.答案：A8函数f(x)的图象如以下图所示，以下
4、数值排序正确的选项是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：f(2)、f(3)为x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)f(2)，f(3)f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选B.答案：B9设f(x)x3x，那么的值等于()A0 B8C.f(x)dx D.f(x)dx解析：f(x)为奇函数，在对称区间2,2上定积分为0.答案：A10定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR都有f(x4)f(x)；对于任意的0x1x22都有f(x1)f(5)f(
5、15.5)Bf(5)f(6.5)f(15.5)Cf(5)f(15.5)f(5)f(6.5)解析：由知f(x)是周期函数，周期T4，f(5)f(1)，又yf(x2)的图象关于y轴对称，即yf(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)，f(6.5)f(2.5)f(20.5)f(20.5)f(1.5)，f(15.5)f(123.5)f(3.5)f(21.5)f(21.5)f(0.5)，又对于任意0x1x22都有f(x1)f(1)f(0.5)，即f(6.5)f(5)f(15.5)答案：A11设f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，假设有恒成立，那么正数k的取值范围是()A(0,1) B(0，)C1
6、，) D.解析：f(x)，xe1时，f(x)最大g(x).x1为g(x)在(0，)上的极小值点，也是最小值点由题意知，即.k1.答案：C12定义在R上的可导函数f(x)，yef(x)的图象如以下图所示，那么yf(x)的增区间是()A(，1)B(，2)C(0,1)D(1,2)解析：由题意知，x(，2)时，y1.即f(x)0，x(2，)时，y1，即f(x)0时f(x)是单调函数，那么满足f(x)f()的所有x之和为_解析：f(x)为偶函数且在x0时单调f(x)f()|x|x23x30或x25x30由方程的两根之和为3，方程的两根之和为5，故满足f(x)f()的所有x之和为8.答案：815函数f(x
7、)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，那么f(5)_.解析：f(x)6x2f(2)，f(2)122f(2)f(2)12.f(5)30246.答案：616规定x表示不超过x的最大整数，例如2,32，2.73，函数yx的图象与函数yax的图象在0,)内有个交点，那么a的取值范围是_解析：依题意yxi(ixi1，iN且i)，画出yx及yax的图象，从图象中可以看出，使两函数在0,)内有个交点需a1.答案：(，1三、解答题17函数f(x)()x，x1,1，函数g(x)f2(x)2af(x)3的最小值为h(a)，求h(a)解：x1,1()x，3设t()x，t，3那么(t)t22at3(
8、ta)23a2，当a3时，g(x)minh(a)(3)126a.h(a).18设p：f(x)(x24)(xa)在(，2)和(2，)上是单调增函数；q：不等式(2t2)dta的解集为R.如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围p：由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4，y的图象为开口向上且过点(0，4)的抛物线由条件得f(2)0且f(2)0，即2a2.q：(2t2)dt(t22t)x22x(x1)21a，该不等式的解集为R，a1.当p正确q不正确时，1a2；当p不正确q正确时，a2.a的取值范围是(，2)1,219函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)f(y)2f()f(
9、)，f(0)0，且存在非零常数c，使f(c)0.(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)求证f(x)是周期函数，并求出f(x)的一个周期解：(1)任意x，yR均有f(x)f(y)2f()f()，令xy0，2f(0)2f(0)f(0)，f(0)0，f(0)1.(2)令yx，f(x)f(x)2f(0)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)f(2cx)f(x)2f()f()，f(c)0，f(2cx)f(x)0，即f(2cx)f(x)，f(x)f(2cx)f(2c(2cx)f(4cx)，f(x)的周期为4c.20某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延
10、，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，那么t，y灭火材料、劳务津贴车辆、器械、装备费森林损失费125tx100x60(500100t)125x100x30000解法一：y1250100(x22)3000031450100(x2)31450236450，当且仅当100(x
11、2)，即x27时，y有最小值36450，.故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元解法二：y100100，令1000，解得x27或x23(舍)当x27时y27时，y0，x27时，y取最小值，最小值为36450元，故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元21函数f(x)ax(x0，常数aR)(1)讨论常数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)假设函数f(x)在x3，)上为增函数，求a的取值范围解：(1)定义域(，0)(0，)，关于原点对称；当a0时，f(x)，满足对定义域上任意x，f(x)f(x)，a0时，f(x)是偶函数；当a0时，f(1)a1，f(1)1a，假设f(x)为偶函数，那么a11a，a0矛盾，假设f(x)为奇函数，那么1a(a1),11矛盾，当a0时，f(x)是非奇非偶函数(2)任取x1x23，f(x1)f
