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1、M推理与证明M1合情推理与演绎推理11M1陕西卷 观察以下不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_111解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：10)，其中r为有理数，且0rf(x)的最小值；设a10，a20，b1，b2为正有理数假设b1b21，那么ab11ab22a1b1a2b2；注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.22
2、解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)假设a1，a2中有一个为0，那么ab11ab22a1b1a2b2成立；假设a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b
3、1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.假设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数假设b1b1bn1，那么ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：当n1时，b11，有a1a1，成立假设当nk时，成立，即假设a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，那么ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)a
4、bk1k1(a1a2ak)1bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得a1a2aka1a2ak，从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由可知，对一切正整数n说明：(3)中如果推广形式中指出式对n2成立，那么后续证明中不需讨论n1的情况M3 数学归纳法21D1、D3、E1、M3重庆卷 设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求证：an是首项为1
5、的等比数列；(2)假设a21，求证：Sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件21解：(1)证法一：由S2a2S1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2.又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.综上，a2对所有nN*成立，从而an是首项为1，公比为a2的等比数列证法二：用数学归纳法证明ana，nN*.当n1时，由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1，再由a20，得a11，所以结论成立假设nk时，结论成立，即aka，那么当nk1时，ak1Sk1Sk(a2Ska1)(a2Sk1a1)a2(SkSk1)a2aka，这就是说，当nk1时，结论也成立综上可得，对任意nN*，ana.因此an是首项为1，公比为a2的等比数列(2)当n1或2时，显然Sn(a1an)，等号成立设n3，a21且a20，由(1)知a11，ana，所以要证的
