《2022年新高考数学复习小题特训05：抛物线（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新高考数学复习小题特训05：抛物线（解析版）（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小题特训05：抛物线一、单选题1（2021广西柳州市高三开学考试（理）已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ）A2B4C6D8【答案】B【分析】根据抛物线定义即可求解【详解】由得，所以F到直线l的距离为故选：B2（2021江西南昌市高三开学考试（文）设为抛物线焦点，直线，点为上一点且过点作于P，则则（ ）A4B3C2D1【答案】C【分析】利用抛物线的定义，可以转化为点A到准线的距离为5，作差可求出的长度.【详解】解：抛物线方程，准线方程为：，因为，所以点A到准线的距离为5，且，直线与准线方程的距离为 ，所以.故选：C3（2021陕西高三其他模拟（理）抛物线上点到其准线的距
2、离为1，则的值为（ ）ABC2D4【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可；【详解】解：抛物线即，可得准线方程，抛物线上点到其准线l的距离为1，可得：，解得.故选：B.4（2021湖北华中师大一附中高三其他模拟（文）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A1B2CD【答案】B【分析】根据抛物线的定义，得到点到焦点的距离等于到准线的距离，得到，即可求解.【详解】由题意，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得故选：B.5（2021江西南昌市高三开学考试（理）设为抛物线焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则（ ）A
3、3B4C2D不能确定【答案】A【分析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得，由抛物线的定义可得，即可求解.【详解】由可得，准线为，设，由抛物线的定义可得，因为过点作于，可得，所以，故选：A.6（2021天津市宝坻区大口屯高级中学高三其他模拟）已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据抛物线的焦点坐标，结合双曲线的渐近线方程和等边三角形的性质进行求解即可.【详解】因为抛物线的焦点坐标为：，所以有，双曲线的渐近线方程为：，因为点在双曲线的渐近线上，是等边三角形，所以有，而，解得：，故选：A7（2
4、021江西景德镇市景德镇一中高三月考（理）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】如图所示，由于轴，可得，利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出【详解】解：如图所示，所以轴，所以四边形为平行四边形，解得，代入可取，解得故选：8（2021河南高三月考（文）抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）A或B或C或D或【答案】A【分析】若点在抛物线外部，由已知可得此种情况不存在；若点在抛物线内部，设线段的中点为，得，再由抛物线定义得 可得答案.【详解】若点在抛物线
5、外部，如下图，设线段的中点为，因为线段的中垂线是，所以，由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，所以点不在抛物线外部；若点在抛物线内部，如下图，设线段的中点为，因为线段的中垂线是，所以，再由抛物线定义得，解得或，所以时，时，故选：A.9（2021安徽高三开学考试（理）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据题意，求得直线，设直线与抛物线相切，联立方程组，利用，求得，结合两平行线间的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点为，因为直线的倾斜角为，所以直线，设直线与抛物线相切，联立方程
6、组，可得，则，解得，且 ，故两平行线间的距离，解得，所以抛物线的方程为，则准线方程为.故选：B.10（2021渝中区重庆巴蜀中学高三开学考试）设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，若，则的面积为（ ）ABC5D【答案】C【分析】根据给定条件写出抛物线方程，借助抛物线定义及已知求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程，求出A，B的纵坐标即可作答.【详解】依题意，即，抛物线方程为：，准线：，如图，过点B作直线BM/l交AC于M，由抛物线定义知：，显然四边形BMCD是矩形，则，而，则，于是得直线AB的斜率，直线AB方程，由消去x得：，解得，于是得点A，B
7、纵坐标分别为4，-1，则，从而得，而点F到直线l的距离为h=2，所以的面积为.故选：C11（2021沙坪坝区重庆一中高三月考）抛物线的准线方程为，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一个动点，Q为曲线上的一个动点，则的最小值为（ ）A7BC8D【答案】A【分析】根据抛物线定义，要使最小等价于最小，即三点共线，再由圆上点到定直线距离最小，可知只需圆心到距离减去半径为最小，即可求最小值.【详解】由题意可知：抛物线方程为，曲线：，图象如下：过作准线于，则由抛物线定义知：，则要使最小，只需三点共线且最小即可.只要到直线距离最短，即到距离减去半径，故最小值为7.故选：A12（2021黑龙江高三其他模拟（理）已
8、知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意
9、，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.二、多选题13（2021河北唐山市高三三模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）ABCPB平分D延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线【答案】BCD【分析】根据平行于轴可求的坐标，从而可求直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程可求的坐标，从而可求并可得为等腰三角形，从而可判断ABC的正误，
10、求出C的坐标后可判断D的正误.【详解】设抛物线的焦点为，则.因为，且轴，故，故直线.由可得，故，故A错.又，故，故，故，故B正确.直线，由可得，故，所以C，B，Q三点共线，故D正确.因为，故为等腰三角形，故，而，故即，故PB平分，故C正确.故选：BCD.14（2021长沙市湖南师大附中高三月考）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则（ ）A的最小值为B已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是4C设，则D过与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条【答案】ABC【分析】由已知求得抛物线的焦点，准线方程为，对于A，由抛物线的性质可知当为通径时，其值
11、最小；对于B，由抛物线的定义进行判断即可；对于C，由抛物线的定义可得；对于D，分过且与轴平行和与抛物线相切两种情况判断【详解】解：由题意知，抛物线的焦点，准线方程为，对于A，当轴时，取得最小值为，所以A正确；对于B，曲线上的两点，到点的距离之和为，所以点，的横坐标之和为，则线段的中点横坐标为4，所以B正确；对于C，设，则，当且仅当三点共线时取等号，所以C正确；对于D，当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D错误，故选：ABC15（2021沙坪坝区重庆八中高三
12、月考）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于的一个动点，过点P作垂直于轴的直线交抛物线于点，则下列四个命题中正确的是（ ）AB点纵坐标的取值范围是C点到圆心距离的最小值为1D若不经过原点，则周长的取值范围是【答案】BCD【分析】根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得A，B的坐标，求得可判断A；由A，B的纵坐标可判断B；由抛物线的定义和图形可知点N到圆心C距离的最小值判断C；利用转化思想可知结合的范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】圆的圆心为，半径，与轴正半轴交于点，抛物线的焦点与重合，准线为，对于选项A：联立 可得，解得或，即， ，所以，故选项A不正确；对于选项B：点
13、为圆的劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P纵坐标的取值范围是，故选项B正确；对于选项C：抛物线的焦点与圆心重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为，所以点N到圆心C距离的最小值为1，故选项C正确；对于选项D：直线l不经过原点，则周长为的取值范围是，故选项D正确；故选：BCD.16（2021河北衡水高三其他模拟）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则（ ）AB点B的坐标为CD弦AB的中点到轴的距离为【答案】CD【分析】由焦点坐标求得值，过B作BD垂直于y轴，垂足为D，由向量的共线得线段比，再利用平行线性质可得点坐标，写出直线方程应用韦达定理求得，同时得出中点横坐标，可判断各选项
14、【详解】由F(4，0)，得m=16，A错误；过B作BD垂直于y轴，垂足为D，则，因为，所以，所以，所以，所以，代入得，即点B的坐标为，B错误；不妨取点，此时直线与联立，得+48=0，故，由抛物线的定义可知，C正确；弦AB的中点到y轴的距离为，D正确，当点时，同理可知CD正确，故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的焦点坐标，抛物线的焦点弦的性质涉及到抛物线的焦点弦上线段比问题，可通过过弦端点向准线或轴引垂线，由平行线的性质得出结论抛物线的焦点弦长可利用韦达定理及抛物线的定义求解三、填空题17（2021河北邢台市高三开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点（其中点在轴上方），则_【答案】【分析】作出抛物线的准线，把转化为点到准线的距离，利用平面几何及三角函数的定义的方法求解【详解】由题意可知直线l经过焦点F，设其倾斜角为，则如图，直线是抛物线C的准线，作，
