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1、精品word学习资料可编辑一，问答题 ：常微分方程习题及解答名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1. 常微分方程和偏微分方程有什么区分？微分方程的通解是什么含义.答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式；常微分方程，自变量的个数只有一个；偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上；常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，如其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解；2. 举例阐述常数变易法的基本思想；答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解；名师归纳总
2、结欢迎下载精品word学习资料可编辑例：求dyP(x) yQ( x) 的通解；dx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑第一利用变量分别法可求得其对应的线性齐次方程的通解为yclP( x )dx，然后将名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑常数 c 变易为 x 的待定函数c( x) ，令yc( x)lP ( x) dx，微分之，得到名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑dydc( x) l dxdxP ( x) dxc(x)P( x)
3、lP( x) dx，将上述两式代入方程中，得到名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑dc( x) l dxP ( x) dxc( x)P(x)lP( x)dx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑c(x)P( x)lP ( x)dxQ( x)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑即积分后得到ydc( x) dxc( x)P (x )dxl(Q( x)lQ(x)lQ( x)lP ( x)dxP ( x)dxdxc%进而得到方程的通解P ( x)dxdxc%)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑3. 高阶线性微分方程和
4、线性方程组之间的联系如何？答： n 阶线性微分方程的初值问题名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑2x( n)a (t )x(n 1).an 1(t ) xan(t) xf(t )名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1x(t0 )1, x (t0),.x(n1)(t )名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑0n其中 a1(t )， a2 (t ),.an (t),f (t)是区间 atb 上的已知连续函数，t0a,b ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1 , 2,.,n 是已知常数；它可以化为线性微分方程组的
5、初值问题名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑010L00001L00xMMMMMxM000L10an (t )an 1(t)an 2(t)La1(t )f (t)x(t 0)但是需要指出的是每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑4. 如常系数线性方程组 x与 B 有什么关系？Ax 和 xBx 有相同的基本解矩阵， 就 A名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑答 ： 设 常 系 数 方 程 组 xAx 的 基 解 为1 (t)exp At ， xBt 的 基 解 为2 (t)exp Bt ，
6、由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，依据的解的性质知1(t)C2 (t) ，就可得 exp AtC exp Bt ， C 为非奇妙 nn 的常数矩阵；5. 写出线性微分方程组的皮卡逐次靠近序列；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑0(t),tatb名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑k (t) A( s)t 0k 1(s)f ( s)ds(k1,2,L )名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑二，求以下方程（或方程组）的通解（或特解） ：名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1. yx dy dxy2 sin2 x名师归纳总结欢迎下载精品word学习资
7、料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑解：方程可化为xyyy2 sin2x ，当 x0时，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑ysin2 xyy2 ，是伯努利方程；xx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1sin 2 x其中 P( x),Q( x)；令 zyxx1，方程可化为名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑dzz2sinx，就名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑dxxx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1dxzlx(sin2 x1dxlxc)x名师归纳总结欢迎下载精品word学
8、习资料可编辑1 ( sin2xdxc)1 ( 1cos2 x dxc)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑xx21 11名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑(xx 24sin 2xc)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑1 1 sin 2 xc2 4xx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑将 zy1代入上面的式子，可得y 111 sin 2xc或者 1y1 y sin 2 xcy名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑y0 也是方程的解；24xx24xx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑22 y yxyy l0名师归纳总结欢迎下载精品w
9、ord学习资料可编辑解：令 yp ，就原方程可化为yxppl 2p0名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑对 x 求导，可得px dpp2 pl 2 p dpl 2 p dp0 ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑dxdxdx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑就 (x2 pl 2 pl 2 p ) dp0dx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑那么： x2 pl 2 pl 2 p0 或者 dp0dx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑2 p当 x2 p
10、l2 pl时，就名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑y( 2 pl 2 pl 2 p ) ppl 2 p名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑llp 2 p2 p 2l 2 pp 2 p2 p 2l 2 p名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑当 dpdx0 时，就 pc ，那么 dyp ，可得 ycxc%，其中dxc, c%是任意常数；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑3. xy2 y0名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑解：方法一：方程两端同时乘以x2 ，转化为欧拉方程x3 y22 x y0 ；名
11、师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑它的特点方程k( k1)(k2)2k (k1)0 ，特点根为 0， 0， 1.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑方程的基本解组为 1,lnx , x, 故其通解为yC1C2 lnxC3x名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑方法二：令 yz ，将方程转化为一阶线性方程xz2z0 ，解之得 zC1 ；2x名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑即有 yC1，积分得 yC1C，再积分得其通解为yCCln xC x名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑x2x2123名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑d 2 ydy4. x22 xy1y(0)0, y ( 0)0名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑dx2dx名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑解：原方程可写成yx2 y2xy1 ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑方程的左边可写成y(x2 y)( yx2 y)名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word
