《新学年高中数学人教A版选修2-2课件-2.1.2演绎推理-2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新学年高中数学人教A版选修2-2课件-2.1.2演绎推理-2(39页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、人教版 选修2-2,第二章 推理与证明,2.1 合情推理与演绎推理,2.1.2 演绎推理,理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的形式,并能用它们进行一些简单的推理,了解合情推理与演绎推理的联系与区别,重点:演绎推理的含义及演绎推理规则 难点:演绎推理的应用,日常生活中我们经常接触这样的推理形式:“所有金属都导电,因为铁是金属,所以铁导电”,它是合情推理吗?这种推理形式正确吗?,1.演绎推理,1演绎推理 从_出发,推出_情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由_的推理,一般性的原理,某个特殊,一般到特殊,2演绎推理与合情推理的主要区别与联系 (1)合情推理与演绎推理的主要区别:
2、归纳和类比都是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由_到_、_到_的推理,类比是由_到_的推理;而演绎推理是由_到_的推理从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步的证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,一般,特殊,(2)人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化、系统化合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色 (3)就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理因此,我
3、们不仅要学会证明,更要学会猜想,3三段论 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 大前提已知的_; 小前提所研究的_; 结论根据一般原理,对特殊情况做出的_ 其一般推理形式为 大前提:M是P. 小前提:S是M. 结论:_.,一般原理,特殊情况,判断,S是P,(2)利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么_. (3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式对于复杂的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的_作为下一个三段论的前提,S中所有元素也都具有性质P,结论,4其他演绎推理形式 (1)假言推理:“若pq,p真,则
4、q真” (2)关系推理:“若aRb,bRc,则aRc”R表示一种传递性关系,如ab,bcac,ab,bcac等 注:假言推理、关系推理在新课标中未给定义,但这种推理形式是经常见到的,为表述记忆方便,我们也一块给出,以供学生扩展知识面 (3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则,答案A 解析大前提错误,因为对数函数ylogax(0a1)是减函数,故选A.,2“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故某奇数是3的倍数”上述推理是() A完全正确 B推理形式不正确 C错误,因为大小前提不一致 D错误,因为大前提错误 答案A,3(20142015厦门六中高二期中)有一段“三段论
5、”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f(x0)0,则xx0是函数f(x)的极值点因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0,所以x0是f(x)x3的极值点以上推理中() A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D结论正确 答案A 解析f(x0)0是f(x)在xx0取得极值的必要条件,而不是充分条件,大前提是错误的,4补充下列推理,使其成为完整的三段论 (1)因为互为相反数的两个数的和为0. 又因为a与b互为相反数且_,所以b8. (2)因为_,又因为e2.71828是无限不循环小数,所以e是无理数 答案(1)a8,(2)无限不循环小数都是无理数,5给出下列结论: 演绎推理的特征为,前提为真
6、时,结论一定为真 演绎推理的特征为,前提为真时,结论可能为真 由合情推理得到的结论一定为真 演绎推理和合情推理都可以用于证明 合情推理不能用于证明,演绎推理可用于证明 其中正确结论的序号为_ 答案,例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理 (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线相互垂直 (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则此两角不是对顶角 分析即写出推理的大前提、小前提、结论大前提可能在题目中给出,也可能是已经学过的知识,1.演绎推理的基本形式三段论,解析(1)每个菱形的对角线都相互垂直大前提 正方形是菱形小前提 正方形的对角线相互垂直结论 (2)若两个
7、角是对顶角则两角相等大前提 1和2不相等小前提 1和2不是对顶角结论,方法规律总结分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来 在三段论中,“大前提”提供了一般的原理,“小前提”指出了一个特殊场合的情况,“结论”在大前提和小前提的基础上,说明一般原则和特殊情况间的联系,平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理,学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法,把下列演绎推理写成三段论的形式 (1)在一个标准大气压下,水的沸点是100,所以在一个标准大气压下把水加热到100时,水会沸腾; (2)因为(21001)是奇数,所以(21001)不能被2整除; (3)如果A与
8、B是两条平行直线的同旁内角,那么AB180; (4)因为函数y2x1是一次函数,所以y2x1是单调函数; (5)711能被3整除,分析在使用三段论推理的过程中,有时为了简便,略去大前提或小前提,分析推理过程时,要把略去的部分补出来,明确其大前提、小前提是什么 解析(1)大前提:在一个标准大气压下,水的沸点是100, 小前提:在一个标准大气压下把水加热到100, 结论:水会沸腾 (2)大前提:一切奇数都不能被2整除, 小前提:21001是奇数, 结论:21001不能被2整除,(3)大前提:两条直线平行,同旁内角互补, 小前提:A与B是两条平行直线的同旁内角, 结论:AB180. (4)大前提:一
9、次函数都是单调函数; 小前提:函数y2x1是一次函数; 结论:y2x1是单调函数 (5)大前提:各位数字的和能被3整除的整数,能被3整除; 小前提:711的各位数字的和能被3整除; 结论:711能被3整除,2.演绎推理的判断,例题2 指出下面推理中的错误: (1)自然数是整数(大前提) 6是整数(小前提) 所以,6是自然数(结论) (2)中国的大学分布在中国各地(大前提) 北京大学是中国的大学(小前提) 所以,北京大学分布在中国各地(结论) (3)三角函数是周期函数(大前提) ysinx(0 x)是三角函数(小前提) ysinx(0 x)是周期函数(结论),分析判断三段论推理是否正确必须严格按
10、其推理规则进行考察,其推理规则为: 所有M都是P,S是MS是P. 既要看大前提、小前提是否有误,也要看推理形式是否合乎规范,解析(1)推理形式错误,自然数是整数为大前提,小前提应是判断某数为自然数,而不是某数为整数 (2)推理形式错误,大前提中M是“中国的大学”,它的含义是中国的每一所大学,而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,犯了偷换概念错误 (3)推理形式错误,大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同,方法规律总结1.判断演绎推理是否正确的方法 (1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方;
11、(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件; (3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提范围之内; (4)看推理过程是否正确,即看由大前提,小前提得到的结论是否正确,2在应用三段论推理中,最常见的错误是偷换概念的错误,即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同;其次是推理形式错误,大前提“所有M都是P”,则小前应是“S是M”,而非“S是P”,(3)设ab(a0,b0) 等式两边乘以a,得a2ab, 两边减去b2,得a2b2abb2, 两边分解因式,得(ab)(ab)b(ab), 两边除以(ab),得abb, 以b代a,得2bb, 两边除以b,得21.,解析上
12、述推理过程都是错误的 (1)犯了偷换论题、以偏概全的错误,在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形 (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数因此原题的真实性仍无法断定 (3)所得结果显然是错误的,错误的原因在于以(ab)除等式两边因为ab,而ab0,用0除等式两边,这是错误的,3.综合应用,例题3 已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)1;,若“当x10,x20且x1x21时,有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立”,则称f(x)为“友谊函数” (1)若已知f(x)为“友谊函
13、数”,求f(0)的值 (2)函数g(x)2x1在区间0,1上是否为“友谊函数”?并给出理由 (3)已知f(x)为“友谊函数”,且0 x1x21,求证:f(x1)f(x2),分析定义域为0,1,在研究函数过程中不能超出这个范围; 第(1)问已知f(x)为友谊函数,求f(0)可用赋值法求解; 第(2)问给出f(x)解析式和定义区间,判断f(x)是否为友谊函数,需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件 第(3)问要证f(x1)f(x2),需依据条件进行变换,注意条件在变形中的应用,解析(1)取x1x20,得f(0)f(0)f(0), f(0)0, 又由f(0)0,得f(0)0. (2)显然g(x)2x
14、1在0,1上满足g(x)0; g(1)1; 若x10,x20,且x1x21, 则有g(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) (2x11)(2x21)0. 故g(x)2x1满足条件, 所以g(x)2x1为“友谊函数”,(3)因为0 x1x21,则0 x2x11, 所以f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1) 方法规律总结1.应用演绎推理证明时,必须确切知道每一步推理的依据(大前提),验证条件是否满足(小前提),然后得出结论 2在几何、代数证题过程中,如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐,也不必要因此实际证题中,那些公认的简单事实,已知的公
15、理、定理等大前提条件可以省略,那些前面证得的结论也可省略,但必须要保证证题过程的严密规范,用三段论分析下列推理过程:已知空间四边形ABCD中,点E、F分别在AB、AD上的中点 求证:EF平面BCD. 证明:E、F分别为边AB、AD的中点, EFBD. 又EF平面BCD,BD平面BCD, EF平面BCD.,解析在上述推理过程中,两次使用了三段论,第一次由EF是ABD的中位线推出EFBD,省略了大前提“三角形的中位线平行于第三边” 第二次由EFBD推出EF平面BCD,省略了大前提“如果平面外一条直线和这个平面平行,那么这条直线与这个平面平行”,例题4 如图所示,在ABC中,ACBC,CD是AB边上的高,求证ACDBCD. 错解在ABC中,因为ACBC,CDAB,所以ADBD,所以ACDBCD.,4.疑难误区警示:不要张冠李戴,辨析错误的原因在于虽然运用的大前提正确,即在同一个三角形中,大边对大角,但AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边,即小前提不成立,所以推理过程错误 正解因为CDAB,所以ADCBDC90, 所以AACDBBCD90, 在ABC中,ACBC,BA, ACDBCD. 警示利用三段论推理时,(一)大前提必须是真命题;(2)小前提是大前提的特殊情形,